Неопределенные интегралы. Желтухин В.С. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

u dv = d(uv) − v du d(uv)
uv
Z
u dv = uv −
Z
v du,
u dv =
uv
0
dx v du = vu
0
dx
Z
x cos x dx
u = x dv = cos x dx du = dx v = sin x
cos x dx
dv
v
Z
x cos x dx =
Z
x d sin x = x sin x−
Z
sin x dx = x sin x+cos x+C.
x cos x sin x
v
cos x dx
dv
v du
x dx dv cos x u
Z
P
n
(x)f(x) dx,
P
n
(x) n n f(x)
ln
m
ax e
ax
sin
m
ax cos
m
ax tg
m
ax sh
m
ax ch
m
ax th
m
ax
u dv = d(uv) − v du. Äëÿ âûðàæåíèÿ d(uv) ïåðâîîáðàçíîé áóäåò,
î÷åâèäíî, uv . Ïîýòîìó èìååò ìåñòî ôîðìóëà èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷à-
ñòÿì                   Z             Z
                         u dv = uv − v du,                   (2)

êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò ïðèâåñòè èíòåãðèðîâàíèå âûðàæåíèÿ u dv =
uv 0 dx ê èíòåãðèðîâàíèþ âûðàæåíèÿ v du = vu0 dx.
                                             Z
Ï ð è ì å ð 29. Ïóñòü òðåáóåòñÿ íàéòè            x cos x dx.
      . Ïîëîæèì u = x, dv = cos x dx, òàê ÷òî du = dx, v = sin x
(äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì äîñòàòî÷íî ïðåäñòàâèòü cos x dx õî-
òÿ áû îäíèì ñïîñîáîì â âèäå dv ; ïîýòîìó íåò íåîáõîäèìîñòè ïè-
ñàòü íàèáîëåå îáùåå âûðàæåíèå äëÿ v , âêëþ÷àþùåå ïðîèçâîëüíóþ
ïîñòîÿííóþ). Ïî ôîðìóëå (2),
Z              Z                    Z
   x cos x dx = x d sin x = x sin x− sin x dx = x sin x+cos x+C. /

      Òàêèì îáðàçîì, èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì ïîçâîëèëî çàìåíèòü
ñëîæíóþ ïîäèíòåãðàëüíóþ ôóíêöèþ x cos x íà ïðîñòóþ sin x. Ïðè
ýòîì äëÿ ïîëó÷åíèÿ v ïðèøëîñü çàîäíî ïðîèíòåãðèðîâàòü âûðàæå-
íèå cos x dx, ïîýòîìó ôîðìóëà è íàçûâàåòñÿ: èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷à-
ñòÿì.
      Ïðè ïðèìåíåíèè ôîðìóëû (2) íåîáõîäèìî ñòàðàòüñÿ òàê ðàç-
áèòü ïîäèíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå, ÷òîáû èíòåãðèðîâàíèå äèôôå-
ðåíöèàëà dv íå ïðåäñòàâëÿëî òðóäíîñòåé è ïåðåõîä ê èíòåãðàëó îò
v du â ñîâîêóïíîñòè ïðèâîäèë áû ê óïðîùåíèþ ïîäèíòåãðàëüíîãî
âûðàæåíèÿ. Òàê, â ïðèâåäåííîì ïðèìåðå, ÿâíî íåâûãîäíî áûëî áû
âçÿòü x dx çà dv , à cos x  çà u.
      Ïðàâèëî èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì èìååò áîëåå îãðàíè÷åííóþ
îáëàñòü ïðèìåíåíèÿ, ÷åì çàìåíà ïåðåìåííîé. Íî åñòü öåëûå êëàññû
èíòåãðàëîâ, íàïðèìåð,
                           Z
                               Pn (x)f (x) dx,

ãäå Pn (x)  ïîëèíîì ñòåïåíè n (n  íàòóðàëüíîå), à f (x)  ëþáàÿ èç
ôóíêöèé lnm ax, eax , sinm ax, cosm ax, tgm ax, shm ax, chm ax, thm ax,

                                   16

Страницы