Неопределенные интегралы. Желтухин В.С. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Z
dx
Ax
2
+ 2Bx + C
, B
2
− AC > 0.
Ax
2
+ 2Bx + C = A(x − α)(x − β),
α =
−B +
√
B
2
− AC
A
, β =
−B −
√
B
2
− AC
A
.
a = −β b = −α
Z
dx
Ax
2
+ 2Bx + C
=
1
2
√
B
2
− AC
ln
¯
¯
¯
¯
¯
Ax + B −
√
B
2
− AC
Ax + B +
√
B
2
− AC
¯
¯
¯
¯
¯
+ C
1
.
Z
dx
x
2
− 5x + 6
=
Z
dx
(x − 2)(x − 3)
= ln
¯
¯
¯
¯
x − 3
x − 2
¯
¯
¯
¯
+ C.
Z
dx
4x
2
+ 4x − 3
=
1
4
Z
dx
(x − 1/2)(x + 3/2)
=
1
8
ln
¯
¯
¯
¯
2x − 1
2x + 3
¯
¯
¯
¯
+ C.
cos
2
mx =
1 + cos 2mx
2
,
Z
cos
2
mx dx =
1
2
Z
dx +
1
2
Z
cos 2mx dx =
1
2
x +
1
4m
sin 2mx + C.
sin mx cos nx =
1
2
[sin(m + n)x + sin(m − n)x];
m ± n 6= 0
Z
sin mx cos nx dx = −
1
2(m + n)
cos(m+n)x−
1
2(m − n)
cos(m−n)x+C . 
Ï ð è ì å ð 10. Âû÷èñëèòü
                   Z
                          dx
                       2
                                   , B 2 − AC > 0.
                    Ax + 2Bx + C
       . Çíàìåíàòåëü äðîáè ðàçëàãàåòñÿ íà âåùåñòâåííûå ìíîæèòåëè:
                   Ax2 + 2Bx + C = A(x − α)(x − β),
ãäå                        √                  √
                  −B + B 2 − AC         −B − B 2 − AC
          α=                    , β=                   .
                      A                        A
Òîãäà, â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèìåðîì 9, ïîëàãàÿ â íåì a = −β , b = −α,
ïîëó÷èì
Z                                    ¯          √         ¯
          dx                1        ¯             2      ¯
                                     ¯ Ax + B − B − AC ¯
                   = √            ln ¯          √         ¯ + C1 . /
   Ax2 + 2Bx + C     2 B 2 − AC ¯ Ax + B + B 2 − AC ¯
Ï ð è ì å ð 11. .  ÷àñòíîñòè,
      Z                    Z                  ¯      ¯
               dx              dx             ¯x − 3¯
    1)                 =                = ln ¯¯      ¯ + C.
             2
            x − 5x + 6   (x − 2)(x − 3)         x − 2¯
       Z                 Z                              ¯        ¯
              dx       1            dx              1 ¯¯ 2x − 1 ¯¯
    2)               =                            = ln             + C. /
         4x2 + 4x − 3 4 (x − 1/2)(x + 3/2) 8 ¯ 2x + 3 ¯

    Íåêîòîðûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå âûðàæåíèÿ, ïîñëå òåõ èëè
èíûõ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, òàêæå èíòåãðèðóþòñÿ ïðè ïî-
ìîùè ïðîñòåéøèõ ïðèåìîâ.
Ï ð è ì å ð 12. . Î÷åâèäíî, íàïðèìåð, ÷òî
                                       1 + cos 2mx
                           cos2 mx =               ,
                                            2
ñëåäîâàòåëüíî
Z                      Z    Z
        2       1         1               1     1
    cos mx dx =      dx +     cos 2mx dx = x +    sin 2mx + C. /
                2         2               2    4m
Ï ð è ì å ð 13. . Àíàëîãè÷íî,
                           1
          sin mx cos nx = [sin(m + n)x + sin(m − n)x];
                           2
ñ÷èòàÿ m ± n 6= 0, ïîëó÷èì, ÷òî
Z
                            1                   1
  sin mx cos nx dx = −           cos(m+n)x−          cos(m−n)x+C. /
                        2(m + n)            2(m − n)

                                       8

Страницы