Неопределенные интегралы. Желтухин В.С. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

J =
Z
dt
2 − 3t
2
=
1
2
√
6
ln
¯
¯
¯
¯
¯
√
2 + t
√
3
√
2 − t
√
3
¯
¯
¯
¯
¯
+ C =
=
1
2
√
6
ln
¯
¯
¯
¯
¯
x
√
3 +
p
2x
2
− 2
x
√
3 −
p
2x
2
− 2
¯
¯
¯
¯
¯
+ C.
/
Z
(Mx + N) dx
(x
2
+ px + q)
m
p
ax
2
+ bx + c
J =
Z
(Mx + N) dx
(x
2
+ px + q)
m
p
ax
2
+ bx + c
,
¡
ax
2
+ bx + c
¢
= a
¡
x
2
+ px + q
¢
J =
1
√
a
Z
(Mx + N) dx
(x
2
+ px + q)
(2m+1)/2
=
M
2
√
a
Z
(2x + p) dx
(x
2
+ px + q)
(2m+1)/2
+
+
2N − Mp
2
√
a
Z
dx
(x
2
+ px + q)
(2m+1)/2
.
t = x
2
+ px + q
¡
ax
2
+ bx + c
¢
6= a
¡
x
2
+ px + q
¢
 è
                       Z           ¯√     √ ¯¯
                      dt       1   ¯
                                   ¯ 2+t 3¯
             J =            = √ ln ¯ √    √ ¯+C =
                    2 − 3t2
                              2 6 ¯ 2−t 3¯
                        ¯ √     p      ¯
                        ¯          2   ¯
                  1     ¯ x 3 + 2x − 2 ¯
               = √ ln ¯ √       p      ¯ + C.
                 2 6 ¯ x 3 − 2x2 − 2 ¯

      Òàêèì îáðàçîì, îáå ïîäñòàíîâêè ýêâèâàëåíòíû, êàê ñ òî÷êè
 çðåíèÿ òîæäåñòâåííîñòè îêîí÷àòåëüíûõ ðåçóëüòàòîâ, òàê è ïî îáú-
 åìó âû÷èñëèòåëüíîé ðàáîòû. /
                                                Z
                                                            (M x + N ) dx
Èíòåãðèðîâàíèå âûðàæåíèé âèäà                                    mp
                                                    (x2 + px + q)   ax2 + bx + c

      Ïðè âû÷èñëåíèè èíòåãðàëîâ âèäà
                           Z
                                      (M x + N ) dx
                  J=                        mp
                                                          ,                       (23)
                                 2
                               (x + px + q)       2
                                              ax + bx + c

 âûäåëÿþò äâà ñëó÷àÿ.
         ¡                     ¢     ¡              ¢
      1) ax2 + bx + c = a x2 + px + q  òðåõ÷ëåíû â çíàìåíà-
 òåëå ñîâïàäàþò èëè îòëè÷àþòñÿ ëèøü ìíîæèòåëåì. Òîãäà èñêîìûé
 èíòåãðàë èìååò âèä
             Z                                          Z
      1                (M x + N ) dx            M                  (2x + p) dx
 J = √                             (2m+1)/2
                                              = √                          (2m+1)/2
                                                                                      +
       a         (x2
               + px + q)                       2 a          (x2   + px + q)
                  Z
         2N − M p            dx
       +    √                             .                                       (24)
           2 a      (x2 + px + q)(2m+1)/2
      Ïåðâûé èíòåãðàë ñðàçó áåðåòñÿ ïîäñòàíîâêîé t = x2 + px + q ,
 êî âòîðîìó ïðèìåíÿþò ïîäñòàíîâêó Àáåëÿ (18).
                                          ¡                  ¢       ¡            ¢
      2)  îáùåì ñëó÷àå, êîãäà ax2 + bx + c 6= a x2 + px + q , ê
 öåëè âåäåò ïîäñòàíîâêà, óíè÷òîæàþùàÿ ÷ëåíû â ïåðâîé ñòåïåíè â
 îáîèõ òðåõ÷ëåíàõ îäíîâðåìåííî. Ýòîò ñëó÷àé òàêæå ðàçáèâàåòñÿ íà
 äâà âàðèàíòà.


                                          39

Страницы