Неопределенные интегралы. Желтухин В.С. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

t =
³
p
αx
2
+ β
´
0
=
αx
p
αx
2
+ β
.
dx
p
αx
2
+ β
=
dt
α − t
2
;
x
2
+ λ =
¡
β − αλ
2
¢
t
2
+ λ
2
α
2
α (α − t
2
)
.
Z
dx
(x
2
+ λ
2
)
k
p
αx
2
+ β
= α
k
Z
¡
α − t
2
¢
k−1
dt
[(β − αλ
2
)t
2
+ λ
2
α
2
]
k
,
J =
Z
dx
(x
2
+ 2)
p
x
2
− 1
r
1 −
1
x
2
= v,
1
x
2
= 1 − v
2
,
dx
x
3
= v dv;
J =
Z
dv
3 − 2v
2
=
1
2
√
6
ln
¯
¯
¯
¯
¯
√
3 + v
√
2
√
3 − v
√
2
¯
¯
¯
¯
¯
+ C =
=
1
2
√
6
ln
¯
¯
¯
¯
¯
x
√
3 +
p
2x
2
− 2
x
√
3 −
p
2x
2
− 2
¯
¯
¯
¯
¯
+ C.
t =
³
p
x
2
− 1
´
0
=
x
p
x
2
− 1
,
dx
p
x
2
− 1
=
dt
1 − t
2
,
x
2
+ 2 =
2 − 3t
2
1 − t
2
,
        Ýôôåêòèâíîé òàêæå îêàçûâàåòñÿ ïîäñòàíîâêà Àáåëÿ
                              ³p                    ´0            αx
                        t=            αx2   +β           =p                .                  (22)
                                                                 αx2 + β
 ñèëó (20),
                                       dx                      dt
                                 p                   =              ;
                                      αx2 + β                α − t2
êðîìå òîãî,                       ¡        ¢
                                          2 2
                             2     β − αλ    t + λ2 α2
                            x +λ=                      .
                                       α (α − t2 )
Ïîýòîìó
         Z                                               Z          ¡       ¢k−1
                      dx                                             α − t2      dt
                     k
                       p        = αk                                                      ,
               2   2
             (x + λ )      2
                         αx + β                               [(β − αλ2 )t2 + λ2 α2 ]k
è èñêîìûé èíòåãðàë ïðèâåëñÿ ê èíòåãðàëó îò ðàöèîíàëüíîé ôóíê-
öèè.
                                            Z
                                        dx
Ï ð è ì å ð 45. Íàéòè J =                 p       .
                                 (x2 + 2) x2 − 1
        . a) Ïðèìåíèì ñíà÷àëà ïîäñòàíîâêó
               r
                     1        1           2   dx
                 1 − 2 = v,      = 1 −  v   ,    = v dv;
                    x         x2              x3
òîãäà
                       Z             ¯√    √ ¯¯
                      dv        1    ¯
                                     ¯ 3+v 2¯
             J =             =  √ ln ¯√    √ ¯+C =
                    3 − 2v 2   2 6 ¯ 3−v 2¯
                        ¯ √     p       ¯
                        ¯           2   ¯
                  1     ¯ x 3 + 2x − 2 ¯
               = √ ln ¯ √       p       ¯ + C.
                 2 6 ¯ x 3 − 2x2 − 2 ¯

        á) Ïîäñòàíîâêà Àáåëÿ ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó ðåçóëüòàòó:
                  ³p             ´0             x                   dx           dt
             t=        x2   −1        =p                 ,      p          =          ,
                                            x2 − 1      x2 − 1                 1 − t2
                                                 2    2 − 3t2
                                                x +2=         ,
                                                      1 − t2



                                                 38

Страницы