Неопределенные интегралы. Желтухин В.С. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Z
(Mx + N) dx
(x
2
+ px + q)
m
p
ax
2
+ bx + c
,
Z
dx
(ax
2
+ bx + c)
(2m+1)/2
Z
dx
(ax
2
+ bx + c)
(2m+1)/2
=
=
Z
dx
(ax
2
+ bx + c)
m
(ax
2
+ bx + c)
1/2
,
m > 0
t =
³
p
ax
2
+ bx + c
´
0
=
2ax + b
2
p
ax
2
+ bx + c
.
4(ax
2
+ bx + c)
4t
2
(ax
2
+ bx + c) = (4a
2
x
2
+ 4abx + b
2
).
4a(ax
2
+bx+c)
4(a − t
2
)(ax
2
+ bx + c) = 4ac − b
2
,
¡
ax
2
+ bx + c
¢
m
=
µ
4ac − b
2
4
m
1
(a − t
2
)
m
.
t
p
ax
2
+ bx + c =
2ax + b
2
.
p
ax
2
+ bx + c dt + t
³
p
ax
2
+ bx + c
´
0
dx =
=
p
ax
2
+ bx + c dt + t
2
dx = a dx,
     Ïðåæäå, ÷åì ïåðåéòè ê ìåòîäàì âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ âèäà
                   Z
                               (M x + N ) dx
                                    mp
                                                    ,
                       (x2 + px + q)   ax2 + bx + c

ðàññìîòðèì äâà èíòåãðàëà ÷àñòíîãî âèäà.
                                                       Z
                                                                      dx
  Èíòåãðèðîâàíèå âûðàæåíèé âèäà
                                                            (ax2 + bx + c)(2m+1)/2
     Äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ âèäà
 Z
              dx
                                  =
     (ax2 + bx + c)(2m+1)/2
                                  Z
                                                           dx
                              =                                               , (17)
                                      (ax2 + bx + c)m (ax2 + bx + c)1/2
ãäå m > 0  öåëîå ÷èñëî, ïðèìåíÿåòñÿ ïîäñòàíîâêà Àáåëÿ
                   ³p                    ´0       2ax + b
             t=         ax2   + bx + c        = p             .                 (18)
                                               2 ax2 + bx + c
Âîçâîäÿ ýòî ðàâåíñòâî â êâàäðàò, è óìíîæàÿ íà 4(ax2 + bx + c),
ïîëó÷èì
               4t2 (ax2 + bx + c) = (4a2 x2 + 4abx + b2 ).
Âû÷èòàÿ èç îáåèõ ÷àñòåé ýòîãî ðàâåíñòâà âûðàæåíèå 4a(ax2 +bx+c),
ïîëó÷èì, ÷òî

                   4(a − t2 )(ax2 + bx + c) = 4ac − b2 ,

è, òàêèì îáðàçîì,
                                        µ              ¶m
             ¡ 2         ¢m                 4ac − b2            1
              ax + bx + c =                                            .        (19)
                                               4            (a − t2 )m
     Èç (18) ñëåäóåò, ÷òî
                   p                 2ax + b
                 t ax2 + bx + c =            .
                                        2
Äèôôåðåíöèðóÿ ýòî ðàâåíñòâî, íàéäåì:
            p                     ³p                ´0
                 2
               ax + bx + c dt + t        2
                                      ax + bx + c dx =
                 p
              =     ax2 + bx + c dt + t2 dx = a dx,

                                         36

Страницы