Неопределенные интегралы. Желтухин В.С. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Z
P
n
(x)
¡
ax
2
+ bx + c
¢
±1/2
dx
Z
P
n
(x) dx
p
ax
2
+ bx + c
P
n
(x)
n
Z
P
n
(x) dx
p
ax
2
+ bx + c
=
= P
n−1
(x)
p
ax
2
+ bx + c + λ
Z
dx
p
ax
2
+ bx + c
.
λ P
n−1
(x) n −1
P
n−1
(x) λ
P
n
(x)
p
ax
2
+ bx + c =
P
n
(x)(ax
2
+ bx + c)
p
ax
2
+ bx + c
,
Z
P
n
(x)
p
ax
2
+ bx + c dx.
J =
Z
x
2
+ 3x + 5
p
x
2
− 2x + 10
dx
J = (Ax + B)
p
x
2
− 2x + 10 + λ
Z
dx
p
x
2
− 2x + 10
,
A B λ
x
2
+ 3x + 5
p
x
2
− 2x + 10
=
= A
p
x
2
− 2x + 10 +
(Ax + B)(x − 1)
p
x
2
− 2x + 10
+
λ
p
x
2
− 2x + 10
.
                                              Z
                                                        ¡            ¢±1/2
Èíòåãðèðîâàíèå âûðàæåíèé âèäà                     Pn (x) ax2 + bx + c      dx
                         Z
                                 Pn (x) dx
     Èíòåãðàëû âèäà          p         , ãäå Pn (x)  ìíîãî÷ëåí ñòå-
                          ax2 + bx + c
ïåíè n, âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëå
  Z
        P (x) dx
    p n             =
       ax2 + bx + c
                         p                  Z
                                                      dx
               = Pn−1 (x) ax2 + bx + c + λ p                   . (16)
                                                  ax2 + bx + c
Çäåñü λ  ÷èñëî, Pn−1 (x)  ïîëèíîì ñòåïåíè n − 1. Êîýôôèöèåíòû
ïîëèíîìà Pn−1 (x) è ÷èñëî λ ñ÷èòàþòñÿ íåèçâåñòíûìè è îïðåäåëÿ-
þòñÿ ïîñëå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ðàâåíñòâà (16), ïðèâåäåíèÿ ïðàâîé
÷àñòè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ è ïðèðàâíèâàíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ïðè
îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ â ÷èñëèòåëÿõ ïîëó÷èâøèõñÿ äðîáåé.

     Òàê êàê
                  p             Pn (x)(ax2 + bx + c)
            Pn (x) ax + bx + c = p
                     2                               ,
                                     ax2 + bx + c
òî îïèñàííûé ìåòîä ïðèìåíèì è ê âû÷èñëåíèþ èíòåãðàëîâ âèäà
                     Z            p
                         Pn (x)    ax2 + bx + c dx.
                                       Z
                                              x2 + 3x + 5
Ï ð è ì å ð 42. Âû÷èñëèòü J =                p              dx.
                                               x2 − 2x + 10
     . Ïî ôîðìóëå (16) èìååì
                   p                Z
                                                           dx
       J = (Ax + B) x2 − 2x + 10 + λ p                                ,
                                                       x2 − 2x + 10
ãäå A, B è λ  íåèçâåñòíûå ïîêà êîýôôèöèåíòû. Äèôôåðåíöèðóÿ
îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà, íàõîäèì

   x2 + 3x + 5
  p             =
   x2 − 2x + 10
             p             (Ax + B)(x − 1)        λ
         = A x2 − 2x + 10 + p              +p              .
                              x2 − 2x + 10    x2 − 2x + 10

                                      34

Страницы