Неопределенные интегралы. Желтухин В.С. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x = a
t
2
− 1
t
2
+ 1
, dx =
4at dt
(t
2
+ 1)
2
,
p
a
2
− x
2
=
2at
t
2
+ 1
,
Z
dx
p
a
2
− x
2
= 2
Z
dt
t
2
+ 1
= 2 arctg t + C = 2 arctg
r
a + x
a − x
+ C.
2 arctg
r
a + x
a − x
= arcsin
x
a
+
π
2
, (−a < x < a),
p
a
2
− x
2
= xt−a
Z
dx
p
a
2
− x
2
= −2
Z
dt
t
2
+ 1
=
= 2 arctg t + C = −2 arctg
a +
p
a
2
− x
2
x
+ C.
(−a, 0) (0, a) x = 0
−2 arctg
a +
p
a
2
− x
2
x
lim
x→0−
Ã
−2 arctg
a +
p
a
2
− x
2
x
!
= π,
lim
x→0+
Ã
−2 arctg
a +
p
a
2
− x
2
x
!
= −π.
òîãäà
                    t2 − 1                   4at dt      p                 2at
            x=a            ,        dx =             ,       a2 − x2 =          ,
                    t2 + 1                 (t2 + 1)2                     t2 + 1
è
    Z                       Z                                            r
             dx                   dt                                         a+x
        p              =2              = 2 arctg t + C = 2 arctg                 + C.
            a 2 − x2            t2 + 1                                       a−x
        Òàê êàê èìååò ìåñòî òîæäåñòâî
                         r
                   a+x          x π
               2 arctg  = arcsin + , (−a < x < a),
                   a−x          a 2
òî ýòîò ðåçóëüòàò ëèøü ôîðìîé ðàçíèòñÿ îò èçâåñòíîãî íàì. /
     Ïðèâåäåííûé ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè èíòåãðèðîâàíèè
íåîáõîäèìî èìåòü â âèäó âîçìîæíîñòü äëÿ èíòåãðàëà ïîëó÷àòüñÿ â
ðàçíûõ ôîðìàõ, â çàâèñèìîñòè îò ïðèìåíÿåìîãî äëÿ åãî âû÷èñëåíèÿ
ìåòîäà. Ïîýòîìó â ñîìíèòåëüíûõ ñëó÷àÿõ ðåçóëüòàò èíòåãðè-
ðîâàíèÿ ñëåäóåò îáÿçàòåëüíî ïðîâåðÿòü äèôôåðåíöèðîâà-
íèåì.
Ï ð è ì åpð 41. . Åñëè ê òîìó æå èíòåãðàëó ïðèìåíèòü âòîðóþ ïîä-
ñòàíîâêó          a2 − x2 = xt − a, òî, ïîñòóïàÿ àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó,
ïîëó÷èì
    Z                           Z
             dx                       dt
        p              = −2                =
         a 2 − x2                   t2 + 1
                                                                      p
                                                    a2 − x2      a+
                    = 2 arctg t + C = − 2 arctg             + C.
                                                    x
Çäåñü èìååò ìåñòî äðóãîå îáñòîÿòåëüñòâî: ýòîò ðåçóëüòàò ãîäèòñÿ
îòäåëüíî äëÿ ïðîìåæóòêà (−a, 0) è (0, a), èáî â òî÷êå x = 0 âûðà-
æåíèå                              p
                                a + a2 − x2
                     − 2 arctg
                                      x
ëèøåíî ñìûñëà, òàê êàê
                  Ã               p         !
                             a + a2 − x2
              lim − 2 arctg                    = π,
             x→0−                  x
                  Ã               p         !
                             a+ a −x 2    2
              lim − 2 arctg                    = −π.
             x→0+                  x

                                               32

Страницы