Неопределенные интегралы. Желтухин В.С. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x =
−aµ + λt
2
t
2
− a
, dx = 2
a(µ − λ)t
(t
2
− a)
2
dt,
t =
p
ax
2
+ bx + c
(x − λ)
,
p
ax
2
+ bx + c =
a(λ − µ)t
t
2
− a
.
J =
Z
1 −
p
1 + x + x
2
x
p
1 + x + x
2
dx
p
1 + x + x
2
= tx + 1,
1 + x + x
2
= t
2
x
2
+ 2tx + 1,
x =
2t − 1
1 − t
2
, dx = 2
1 − t + t
2
(1 − t
2
)
2
dt,
t =
p
1 + x + x
2
− 1
x
,
p
1 + x + x
2
=
1 − t + t
2
1 − t
2
.
J =
Z
−2t dt
1 − t
2
= ln
¯
¯
1 − t
2
¯
¯
+ C = ln
¯
¯
¯
¯
¯
2
p
1 + x + x
2
− 2 − x
x
2
¯
¯
¯
¯
¯
+ C.
Z
dx
p
x
2
± a
2
Z
dx
p
a
2
− x
2
p
a
2
− x
2
= t(a − x);
òàê ÷òî
                 −aµ + λt2         a(µ − λ)t
             x=             ,      dx = 2    dt,
                   t2 − a          (t2 − a)2
             p
               ax2 + bx + c p                 a(λ − µ)t
          t=                , ax2 + bx + c = 2          .
                (x − λ)                          t −a
                                Z      p
                                   1 − 1 + x + x2
Ï ð è ì å ð 39. Ðàññìîòðèì J =        p             dx.
                                    x 1 + x + x2
    . Ïðèìåíèì âòîðóþ ïîäñòàíîâêó Ýéëåðà. Ïîëîæèì
                    p
                      1 + x + x2 = tx + 1,

è âîçâåäåì ýòî ðàâåíñòâî â êâàäðàò; ïîëó÷èì

                      1 + x + x2 = t2 x2 + 2tx + 1,

òàê ÷òî
                       2t − 1              1 − t + t2
                    x=        ,     dx = 2            dt,
                       1 − t2              (1 − t2 )2
               p
                1 + x + x2 − 1      p                1 − t + t2
          t=                   ,      1+x+x =   2               .
                     x                                 1 − t2
Ïîäñòàâëÿÿ ýòè âûðàæåíèÿ â èñêîìûé èíòåãðàë, ïîëó÷èì
      Z                                 ¯ p                     ¯
          −2t dt      ¯       ¯         ¯ 2 1 + x + x 2 − 2 − x ¯
                                        ¯                       ¯
 J=              = ln ¯1 − t ¯ + C = ln ¯
                            2
                                                                ¯ + C. /
          1−t  2                        ¯         x 2           ¯

      Çàìåòèì, ÷òî ïåðâàÿ ïîäñòàíîâêà Ýéëåðà
                                         Z ôàêòè÷åñêè ïðèìå-
                                                       dx
íåíà â ïðèìåðå 27 ê âû÷èñëåíèþ èíòåãðàëà           p            .
                                                      x2 ± a2
                                              Z
                                                      dx
Ï ð è ì å ð 40. Òàáëè÷íûé èíòåãðàë                p èçâåñòåí èç
                                            a2 − x2
ýëåìåíòàðíûõ ñîîáðàæåíèé, íî äëÿ óïðàæíåíèÿ ïðèìåíèì ê íåìó
ïîäñòàíîâêè Ýéëåðà.
     . Âîñïîëüçóåìñÿ òðåòüåé ïîäñòàíîâêîé
                      p
                        a2 − x2 = t(a − x);


                                    31

Страницы