Неопределенные интегралы. Желтухин В.С. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

J = 2
Z
t + 2
t
4
− t
t dt = 2
Z
t + 2
t
3
− 1
dt =
Z
µ
2
t − 1
−
2t + 2
t
2
+ t + 1
dt =
= ln
(t − 1)
2
t
2
+ t + 1
−
2
√
3
arctg
2t + 1
√
3
+ C =
= ln
x − 2
√
x + 1 + 2
x +
√
x + 1 + 2
−
2
√
3
arctg
2
√
x + 1 + 1
√
3
+ C.
J =
Z
dx
3
q
(2 + x) (2 − x)
5
.
J =
Z
µ
2 − x
2 + x
1/3
dx
(2 − x)
2
.
t =
µ
2 − x
2 + x
1/3
, x =
1 − t
3
1 + t
3
,
dx = −
12 t
2
dt
(1 + t
3
)
2
,
1
2 − x
=
1 + t
3
4t
3
.
J = −12
Z
¡
t
3
+ 1
¢
2
t
3
dt
16t
6
(t
3
+ 1)
2
= −
3
4
Z
dt
t
3
=
3
8
µ
2 + x
2 − x
2/3
+ C.
Z
R
³
x,
p
ax
2
+ bx + c
´
dx
Z
R
³
x,
p
ax
2
+ bx + c
´
dx, a 6= 0, b
2
− 4ac 6= 0,
p
ax
2
+ bx + c = t ±
√
a x a > 0
p
ax
2
+ bx + c = t −
√
a x.
Òîãäà
          Z                Z                Z µ                     ¶
            t+2                t+2                 2         2t + 2
J = 2             t dt = 2            dt =               −            dt =
           t4 − t             t3 − 1             t − 1 t2 + t + 1
          (t − 1)2      2          2t + 1
   = ln 2            − √ arctg √ + C =
         t +t+1          3            3
               √                             √
         x−2 x+1+2               2        2 x+1+1
   = ln       √              − √ arctg          √          + C. /
          x+ x+1+2                3               3
                                       Z
                                                   dx
Ï ð è ì å ð 38. Âû÷èñëèòü J = q                                 .
                                           3                  5
                                              (2 + x) (2 − x)
     . Èíòåãðàë ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó (11) ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíî-
ãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîäèíòåãðàëüíîé ôóíêöèè:
                           Z µ         ¶1/3
                                2−x             dx
                      J=                               .
                                2+x          (2 − x)2
Ïîëàãàåì                µ         ¶1/3
                            2−x                     1 − t3
                   t=                    ,       x=        ,
                            2+x                     1 + t3
                         12 t2 dt             1    1 + t3
                 dx = −            ,             =        .
                        (1 + t3 )2           2−x     4t3
Òîãäà
               Z ¡3    ¢2                    Z            µ         ¶2/3
                  t + 1 t3 dt        3           dt 3         2+x
   J = −12                      2 =−                =                      + C. /
                  16t6 (t3 + 1)      4           t3   8       2−x
                                                 Z    ³ p            ´
Èíòåãðèðîâàíèå âûðàæåíèé âèäà                               2
                                                     R x, ax + bx + c dx

     Èíòåãðàëû âèäà
          Z    ³ p            ´
                     2
              R x, ax + bx + c dx,               a 6= 0, b2 − 4ac 6= 0,         (15)

ìîãóò áûòü ñâåäåíû ê èíòåãðàëàì îò ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé ñ ïî-
ìîùüþ îäíîé èç ñëåäóþùèõ ïîäñòàíîâîê Ýéëåðà:
          p                √
     1)  ax2 + bx + c = t ± a x, â ñëó÷àå, åñëè a > 0.
     Ïóñòü, íàïðèìåð, âûáðàíà ïîäñòàíîâêà
                   p                   √
                     ax2 + bx + c = t − a x.

                                       29

Страницы