Неопределенные интегралы. Желтухин В.С. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Z
R
"
x,
µ
αx + β
γx + δ
1/m
#
dx
J =
Z
R
"
x,
µ
αx + β
γx + δ
1/m
#
dx,
t = ω(x) =
µ
αx + β
γx + δ
1/m
,
t
m
=
αx + β
γx + δ
, x = ϕ(t) =
δt
m
− β
α − γt
m
.
J =
Z
R[ϕ(t), t]ϕ
0
(t) dt.
R, ϕ, ϕ
0
x t = ω(x)
Z
R
·
x,
µ
αx + β
γx + δ
r
,
µ
αx + β
γx + δ
s
, . . .
¸
, dx
r, s, . . .
m r, s, . . .
J =
Z
√
x + 1 + 2
(x + 1)
2
−
√
x + 1
dx
(αx + β)/(γx + δ)
x + 1
t =
√
x + 1, x = t
2
− 1, dx = 2t dt.
5   ÈÍÒÅÃÐÈÐÎÂÀÍÈÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉ,
    ÑÎÄÅÐÆÀÙÈÕ ÐÀÄÈÊÀËÛ
                                            Z     " µ        ¶1/m #
                                                      αx + β
Èíòåãðèðîâàíèå âûðàæåíèé âèäà                    R x,               dx
                                                      γx + δ
     Â èíòåãðàëå âèäà
                         Z    " µ        ¶1/m #
                                  αx + β
                    J=       R x,               dx,                (11)
                                  γx + δ
ïîëîæèì                            µ            ¶1/m
                                       αx + β
                     t = ω(x) =                        ,           (12)
                                       γx + δ
îòêóäà
                m  αx + β                δtm − β
             t =          , x = ϕ(t) =           .                 (13)
                   γx + δ                α − γtm
Èíòåãðàë ïðèìåò âèä
                        Z
                    J = R[ϕ(t), t]ϕ0 (t) dt.                       (14)

Òàê êàê R, ϕ, ϕ0  ðàöèîíàëüíûå ôóíêöèè, òî âûðàæåíèå (14) åñòü
èíòåãðàë îò ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè. Âû÷èñëèâ åãî ïî ïðàâèëàì, èç-
ëîæåííûì âûøå, ê ïåðåìåííîé x âåðíåìñÿ, ïîäñòàâèâ t = ω(x).
     Ê èíòåãðàëàì âèäà (14) ñâîäÿòñÿ è áîëåå îáùèå èíòåãðàëû
            Z    · µ        ¶r µ        ¶s        ¸
                     αx + β      αx + β
                R x,          ,            , . . . , dx
                     γx + δ      γx + δ
ñ ðàöèîíàëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè r, s, . . .. Äëÿ ïðèâåäåíèÿ ýòîãî èí-
òåãðàëà ê ðàöèîíàëüíîìó âèäó èñïîëüçóåòñÿ ïîäñòàíîâêà (12), â êî-
òîðîé çà m ïðèíèìàþò îáùèé çíàìåíàòåëü äðîáåé r, s, . . . .
                                       Z    √
                                        x+1+2
Ï ð è ì å ð 37. Âû÷èñëèòü J =                √      dx.
                                   (x + 1)2 − x + 1
     . Çäåñü äðîáíî-ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ (αx + β)/(γx + δ) ñâåëàñü
ïðîñòî ê ëèíåéíîé ôóíêöèè, x + 1. Ïîëàãàåì
                  √
              t = x + 1, x = t2 − 1, dx = 2t dt.


                                   28

Страницы