Неопределенные интегралы. Желтухин В.С. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Z
P
n
(x)
Q
m
(x)
dx =
P
n
1
(x)
Q
m
1
(x)
+
Z
P
n
2
(x)
Q
m
2
(x)
dx,
Q
m
2
(x) = (x − a
1
) . . . (x − a
s
)(x
2
+ p
1
x + q
1
) . . . (x
2
+ p
r
x + q
r
)
Q
m
(x) Q
m
1
(x) =
Q
m
(x)/Q
m
2
(x) P
n
1
(x) P
n
2
(x)
Q
m
1
(x) Q
m
2
(x)
P
n
1
(x) P
n
2
(x)
Z
P
n
(x)
Q
m
(x)
dx
J =
Z
4x
4
+ 4x
3
+ 16x
2
+ 12x + 8
(x + 1)
2
(x
2
+ 1)
2
dx.
Q
1
= Q
2
= (x + 1)(x
2
+ 1) = x
3
+ x
2
+ x + 1
J =
ax
2
+ bx + c
x
3
+ x
2
+ x + 1
+
Z
dx
2
+ ex + f
x
3
+ x
2
+ x + 1
dx.
J
0
=
4x
4
+ 4x
3
+ 16x
2
+ 12x + 8
(x + 1)
2
(x
2
+ 1)
2
=
=
µ
ax
2
+ bx + c
x
3
+ x
2
+ x + 1
0
+
dx
2
+ ex + f
x
3
+ x
2
+ x + 1
.
                     Z                           Z
                         Pn (x)      Pn1 (x)         Pn2 (x)
                                dx =         +               dx,             (10)
                         Qm (x)      Qm1 (x)         Qm2 (x)
ãäå Qm2 (x) = (x − a1 ) . . . (x − as )(x2 + p1 x + q1 ) . . . (x2 + pr x + qr ) 
ìíîãî÷ëåí, âñå êîðíè (âåùåñòâåííûå è êîìïëåêñíûå) êîòîðîãî ïðî-
ñòûå è ñîâïàäàþò ñ êîðíÿìè ïîëèíîìà Qm (x), ïîëèíîì Qm1 (x) =
Qm (x)/Qm2 (x), à Pn1 (x) è Pn2 (x)  ìíîãî÷ëåíû ñ íåîïðåäåëåííû-
ìè êîýôôèöèåíòàìè, ñòåïåíè êîòîðûõ ìåíüøå, ÷åì ñòåïåíè, ñîîò-
âåòñòâåííî,ïîëèíîìîâ Qm1 (x) è Qm2 (x). Êîýôôèöèåíòû ïîëèíîìîâ
Pn1 (x) è Pn2 (x) íàõîäÿò ïîñëå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ðàâåíñòâà (10),
ïðèâåäåíèÿ ïðàâîé ÷àñòè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ è ïðèðàâíèâàíèÿ
÷èñëèòåëåé ïîëó÷èâøèõñÿ âûðàæåíèé.
      Ïåðâîå ñëàãàåìîå â ôîðìóëå (10) íàçûâàþò ðàöèîíàëüíîé        Z           ÷à-
                                                      Pn (x)
ñòüþ, à âòîðîå  òðàíñöåíäåíòíîé ÷àñòüþ èíòåãðàëà            dx.
                                                      Qm (x)
Çàìå÷àòåëüíî òî, ÷òî ìåòîä Îñòðîãðàäñêîãî ïîçâîëÿåò íàéòè ðà-
öèîíàëüíóþ ÷àñòü èíòåãðàëà îò ïðàâèëüíîé äðîáíî-ðàöèîíàëüíîé
ôóíêöèè ÷èñòî àëãåáðàè÷åñêèì ïóòåì, ò.å. íå ïðèáåãàÿ ê èíòåãðè-
ðîâàíèþ êàêèõ-ëèáî ôóíêöèé.

Ï ð è ì å ð 36. Âûäåëèòü ðàöèîíàëüíóþ ÷àñòü èíòåãðàëà
                           Z
                               4x4 + 4x3 + 16x2 + 12x + 8
                     J=                                   dx.
                                    (x + 1)2 (x2 + 1)2
      . Èìååì: Q1 = Q2 = (x + 1)(x2 + 1) = x3 + x2 + x + 1, ïîýòîìó
                                  Z
                  ax2 + bx + c        dx2 + ex + f
            J= 3               +                      dx.
                x + x2 + x + 1       x3 + x 2 + x + 1
Äèôôåðåíöèðóÿ ýòî ðàâåíñòâî, ïîëó÷èì

                 0     4x4 + 4x3 + 16x2 + 12x + 8
             J       =                              =
                            (x + 1)2 (x2 + 1)2
                       µ                 ¶0
                          ax2 + bx + c          dx2 + ex + f
                     =                      +                  .
                         x3 + x2 + x + 1       x3 + x2 + x + 1
Ïîñëå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ äðîáè â ïðàâîé ÷àñòè, ïðèâåäåíèÿ ïîëó-
÷åííîãî âûðàæåíèÿ ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ è ïðèðàâíèâàíèÿ ÷èñëè-


                                         26

Страницы