Неопределенные интегралы. Желтухин В.С. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x
5
+ x
4
− x
3
− x
2
= x
2
(x
3
+ x
2
− x − 1) =
= x
2
(x + 1)(x
2
− 1) = x
2
(x + 1)
2
(x − 1).
x
4
+ 1
x
5
+ x
4
− x
3
− x
2
=
A
x
+
B
x
2
+
C
x − 1
+
D
x + 1
+
E
(x + 1)
2
.
x
4
+ 1 = Ax(x − 1)(x + 1)
2
+ B(x − 1)(x + 1)
2
+
+Cx
2
(x + 1)
2
+ Dx
2
(x
2
− 1) + Ex
2
(x − 1).
x = 0 x = 1 x = −1
B = −1 C = 1/2 E = −1
4x
3
= A(x + 1)(4x
2
− x − 1) + B(x + 1)(3x − 1) +
+ 2Cx(x + 1)(2x + 1) + 2Dx(2x
2
− 1) + Ex(3x − 2),
x = 0
0 = −A − B, A = 1.
x = −1 −4 = −2D + 5E
D = −1/2
J =
Z
dx
x
−
Z
dx
x
2
+
1
2
Z
dx
x − 1
−
1
2
Z
dx
x + 1
−
Z
dx
(x + 1)
2
=
= ln |x| +
1
x
+
1
2
ln |x − 1| −
1
2
ln |x + 1| +
1
x + 1
+ C =
=
2x + 1
x(x + 1)
+
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
(x − 1)x
2
x + 1
¯
¯
¯
¯
.
P
n
(x)/Q
m
(x)
     . Ðàçëîæèì çíàìåíàòåëü ðàöèîíàëüíîé äðîáè íà ìíîæèòåëè:

    x5 + x4 − x3 − x2 = x2 (x3 + x2 − x − 1) =
                         = x2 (x + 1)(x2 − 1) = x2 (x + 1)2 (x − 1).

Èç ýòîãî ðàçëîæåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî

          x4 + 1         A B    C     D      E
                       =  +  +     +     +         .
     x5 + x4 − x3 − x2   x x2 x − 1 x + 1 (x + 1)2
Èç ðàâåíñòâà äðîáåé ñëåäóåò ðàâåíñòâî ìíîãî÷ëåíîâ

      x4 + 1 = Ax(x − 1)(x + 1)2 + B(x − 1)(x + 1)2 +
                   +Cx2 (x + 1)2 + Dx2 (x2 − 1) + Ex2 (x − 1).         (9)

Ïîëàãàÿ â ðàâåíñòâå (9) ïîî÷åðåäíî x = 0, x = 1, x = −1, ïîëó÷èì
B = −1, C = 1/2, E = −1.
     ×òîáû íàéòè êîýôôèöèåíò À, ïðîäèôôåðåíöèðóåì ðàâåíñòâî
(9):

   4x3 = A(x + 1)(4x2 − x − 1) + B(x + 1)(3x − 1) +
            + 2Cx(x + 1)(2x + 1) + 2Dx(2x2 − 1) + Ex(3x − 2),

è ïîëîæèì â ïîñëåäíåì ñîîòíîøåíèè x = 0. Ïîëó÷èì:

                       0 = −A − B,        èëè   A = 1.

     Àíàëîãè÷íî, ïîäñòàâëÿÿ x = −1, ïîëó÷àåì −4 = −2D + 5E ,
îòêóäà íàõîäèì D = −1/2. Ñëåäîâàòåëüíî,
        Z          Z    Z              Z       Z
            dx  dx 1       dx        1   dx         dx
  J =          −  2
                    +             −          −            =
             x  x     2   x−1 2 x+1              (x + 1)2
              1 1              1             1
    = ln |x| + + ln |x − 1| − ln |x + 1| +       +C =
              x 2 ¯            2¯           x+1
       2x + 1   1 ¯¯ (x − 1)x2 ¯¯
    =          + ln               . /
      x(x + 1) 2 ¯ x + 1 ¯
     Åñëè çíàìåíàòåëü ïðàâèëüíîé äðîáè Pn (x)/Qm (x) èìååò êðàò-
íûå êîðíè, îñîáåííî êîìïëåêñíûå, öåëåñîîáðàçíî âîñïîëüçîâàòüñÿ
ñëåäóþùåé ôîðìóëîé Îñòðîãðàäñêîãî:

                                     25

Страницы