Неопределенные интегралы. Желтухин В.С. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(x−a
i
)
Q
m
(x)
x = a
i
1
x − a
i
P
n
(x)/Q
m
(x)
x
(x + 1)(x + 2)(x − 3)
x
(x + 1)(x + 2)(x − 3)
=
A
1
x + 1
+
A
2
x + 2
+
A
3
x − 3
.
x = A
1
(x + 2)(x − 3) + A
2
(x + 1)(x − 3) + A
3
(x + 1)(x + 2).
x = −1
x = −2 x = 3
−1 = −4A
1
, −2 = 5A
2
, 3 = 20A
3
,
A
1
=
1
4
, a
2
= −
2
5
, A
3
=
3
20
.
x
(x + 1)(x + 2)(x − 3)
=
1
4
1
x + 1
−
2
5
1
x + 2
+
3
20
1
x − 3
.
J =
Z
(x
4
+ 1) dx
x
5
+ x
4
− x
3
− x
2
     Íàõîæäåíèå     êîýôôèöèåíòîâ      ðàçëîæåíèÿ    äðîáíî-
ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè, ñîîòâåòñòâóþùèõ ìíîæèòåëÿì âèäà (x−ai )
â ðàçëîæåíèè ïîëèíîìà Qm (x), îáëåã÷àåòñÿ ñëåäóþùèì ïðèåìîì.
Ïðèðàâíÿâ ÷èñëèòåëè äâóõ äðîáíî-ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé 
çàäàííîé è ñ íåîïðåäåëåííûìè êîýôôèöèåíòàìè, è, íå ïðèâîäÿ
â ïîñëåäíåé ïîäîáíûå ÷ëåíû, ïîäñòàâèì â íèõ çíà÷åíèÿ x = ai .
Ïðè ýòîì â ðàâåíñòâå ñëåâà ïîëó÷èì íåêîòîðîå ÷èñëî, à ñïðàâà
îñòàíåòñÿ ëèøü îäíî ñëàãàåìîå ñ íåèçâåñòíûì êîýôôèöèåíòîì,
                            1
ñîîòâåòñòâóþùèì äðîáè âèäà       â ðàçëîæåíèè Pn (x)/Qm (x).
                          x − ai
                                              x
Ï ð è ì å ð 34. . Ðàçëîæåíèå äðîáè                        èìååò
                                    (x + 1)(x + 2)(x − 3)
âèä

                   x            A1     A2      A3
                              =     +      +       .
         (x + 1)(x + 2)(x − 3) x + 1 x + 2 x − 3
     Èç ýòîãî ðàâåíñòâà ýëåìåíòàðíûõ äðîáåé ñëåäóåò ðàâåíñòâî
ìíîãî÷ëåíîâ

      x = A1 (x + 2)(x − 3) + A2 (x + 1)(x − 3) + A3 (x + 1)(x + 2).

     Ïîäñòàâëÿÿ ïîñëåäîâàòåëüíî â ðàâåíñòâî çíà÷åíèÿ x = −1,
x = −2, x = 3, íàéäåì

                 −1 = −4A1 ,    −2 = 5A2 ,       3 = 20A3 ,

èëè
                        1            2                3
                    A1 = ,     a2 = − ,        A3 =      .
                        4            5                20
Ñëåäîâàòåëüíî,
                 x             1 1      2 1     3 1
                             =        −       +         ./
       (x + 1)(x + 2)(x − 3)   4 x + 1 5 x + 2 20 x − 3

      ñëó÷àå êðàòíûõ âåùåñòâåííûõ êîðíåé íàõîæäåíèå êîýôôè-
öèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ äðîáíî-ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè íà ýëåìåíòàð-
íûå äðîáè îáëåã÷àåò äèôôåðåíöèðîâàíèå ïîëèíîìîâ.
                                         Z
                                                (x4 + 1) dx
Ï ð è ì å ð 35. Ðàññìîòðèì J =                                 .
                                             x5 + x4 − x3 − x2

                                    24

Страницы