Неопределенные интегралы. Желтухин В.С. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(x − a
i
)
k
i
Q
m
(x) k
i
A
(i)
1
x − a
i
+
A
(i)
2
(x − a
i
)
2
+ . . . +
A
(i)
k
i
(x − a
i
)
k
i
,
P
n
(x)/Q
m
(x)
¡
x
2
+ p
j
x + q
j
¢
m
j
m
j
M
(j)
1
x + N
(j)
1
x
2
+ p
j
x + q
j
+
M
(j)
2
x + N
(j)
2
(x
2
+ p
j
x + q
j
)
2
+ . . . +
M
(j)
m
j
x + N
(j)
m
j
(x
2
+ p
j
x + q
j
)
m
j
.
P
n
(x)/Q
m
(x)
A
(i)
α
, α = 1, 2, . . . k
i
, i = 1, 2, . . . , s,
M
(j)
β
, N
j
β
, β = 1, 2, . . . m
j
, j = 1, 2, . . . , r,
P
n
(x)/Q
m
(x)
Q
m
(x)
Q
m
(x)
(m −1)
P
n
(x)
P
n
(x)/Q
m
(x)
     Ñîãëàñíî òåîðåìå, êàæäîìó ìíîæèòåëþ âèäà (x − ai )ki â ðàç-
ëîæåíèè ïîëèíîìà Qm (x) â ôîðìå (6) ñîîòâåòñòâóåò ñóììà ki ýëå-
ìåíòàðíûõ äðîáåé âèäà
                            (i)             (i)                     (i)
                        A1       A2                   Aki
                             +           + . . . +             ,                           (7)
                       x − ai (x − ai )2           (x − ai )ki
â      ðàçëîæåíèè           äðîáè Pn (x)/Qm (x), à ìíîæèòåëþ                              âèäà
¡                    ¢mj
    x2 + pj x + qj          ñóììà mj ýëåìåíòàðíûõ äðîáåé âèäà
          (j)     (j)     (j)      (j)                                (j)           (j)
       M1 x + N1        M2 x + N2                    Mmj x + Nmj
                      +                  + . . . +                     .                   (8)
       x2 + pj x + qj (x2 + pj x + qj )2           (x2 + pj x + qj )mj

      Òàêèì îáðàçîì, çíàÿ ðàçëîæåíèå (6), ìû çíàåì çíàìåíà-
òåëè òåõ ýëåìåíòàðíûõ äðîáåé, íà êîòîðûå ðàçëàãàåòñÿ äðîáü
Pn (x)/Qm (x). Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ÷èñëèòåëåé ýòèõ äðîáåé, ò.å. êîýô-
ôèöèåíòîâ
                      A(i)
                       α ,        α = 1, 2, . . . ki ,   i = 1, 2, . . . , s,
è
                     (j)
                Mβ , Nβj ,           β = 1, 2, . . . mj ,    j = 1, 2, . . . , r,
ïðèìåíÿþò ìåòîä íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ, êîòîðûé ñîñòî-
èò â ñëåäóþùåì.
      Çíàÿ âèä ðàçëîæåíèÿ Pn (x)/Qm (x) íà ýëåìåíòàðíûå äðîáè â
ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëàìè (7), (8), çàïèñûâàþò ýòî ðàçëîæåíèå ñ
áóêâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè â ÷èñëèòåëÿõ. Îáùèì çíàìåíàòåëåì
âñåõ ýëåìåíòàðíûõ äðîáåé áóäåò, î÷åâèäíî, ïîëèíîì Qm (x); ñêëà-
äûâàÿ ýòè ýëåìåíòàðíûå äðîáè, ïîëó÷èì ïðàâèëüíóþ äðîáü, â ÷èñ-
ëèòåëå êîòîðîé áóäåò ïîëèíîì ñ êîýôôèöèåíòàìè â âèäå êîìáèíà-
öèè íåèçâåñòíûõ ìíîæèòåëåé ïðè ýëåìåíòàðíûõ äðîáÿõ. Îòáðàñû-
âàÿ çíàìåíàòåëü Qm (x) ñëåâà è ñïðàâà, ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó äâóõ
ïîëèíîìîâ ñòåïåíè (m − 1). Ïðèâîäÿ ïîäîáíûå ÷ëåíû â ïîëèíîìå ñ
áóêâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè, è ïðèðàâíèâàÿ âûðàæåíèÿ ïðè îäè-
íàêîâûõ ñòåïåíÿõ ÷èñëåííûì êîýôôèöèåíòàì ïîëèíîìà Pn (x), ïî-
ëó÷èì ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, èç êîòîðîé îïðåäåëÿòñÿ çíà÷å-
íèÿ íåèçâåñòíûõ êîýôôèöèåíòîâ. Âîçìîæíîñòü ðàçëîæåíèÿ äðîáè
Pn (x)/Qm (x) íà ýëåìåíòàðíûå äðîáè  ñòðîãî äîêàçàííûé ôàêò,

                                                  22

Страницы