Неопределенные интегралы. Желтухин В.С. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

A
x − a
;
A
(x − a)
k
, (k = 2, 3, . . .);
Mx + N
x
2
+ px + q
;
Mx + N
(x
2
+ px + q)
l
, (l = 2, 3, . . .);
A, M, N, a, p, q p
2
/4−q < 0
x
2
+ px + q
J
I
= A
Z
dx
x − a
= A ln |x − a| + C,
J
II
= A
Z
dx
(x − a)
k
= −
A
k − 1
1
(x − a)
k−1
+ C.
x
2
+ px + q
x
2
+ px + q =
¡
x + p/2
¢
2
+
¡
q − p
2
/4
¢
.
q − p
2
/4 > 0 q − p
2
/4 = a
2
a = +
p
q − p
2
/4
x + p/2 = t dx = dt
x
2
+ px + q = t
2
+ a
2
, Mx + N = Mt +
µ
N −
Mp
2
.
J
III
=
Z
Mx + N
x
2
+ px + q
dx =
Z
Mt + (N − Mp/2)
t
2
+ a
2
dt =
=
M
2
Z
2t dt
t
2
+ a
2
+
µ
N −
Mp
2
Z
dt
t
2
+ a
2
=
=
M
2
ln(t
2
+ a
2
) +
1
a
µ
N −
Mp
2
arctg
t
a
+ C =
=
M
2
ln
¡
x
2
+ px + q
¢
+
2N − Mp
p
4q − p
2
arctg
2x + p
p
4q − p
2
+ C.
     Ýëåìåíòàðíûìè äðîáÿìè íàçûâàþò äðîáè ñëåäóþùåãî âèäà
             A                            A
       I.       ;                II.            ,    (k = 2, 3, . . .);
            x−a                        (x − a)k

             Mx + N                         Mx + N
     III.               ;       IV.                       ,       (l = 2, 3, . . .);
            x2 + px + q                               l
                                       (x2 + px + q)

ãäå A, M, N, a, p, q  âåùåñòâåííûå ÷èñëà, è, êðîìå òîãî, p2 /4−q < 0,
òàê ÷òî òðåõ÷ëåí x2 + px + q íå èìååò âåùåñòâåííûõ êîðíåé.
     Äðîáè âèäà I è II èíòåãðèðóþòñÿ ëåãêî:
                         Z
                            dx
                JI = A           = A ln |x − a| + C,
                        Z x −  a
                             dx            A       1
            JII     = A            =  −                   + C.
                          (x − a)k       k − 1 (x − a)k−1
     Èíòåãðèðîâàíèå äðîáåé âèäà III è IV îáëåã÷àåòñÿ ñëåäóþùåé
ïîäñòàíîâêîé. Âûäåëèì èç òðåõ÷ëåíà x2 + px + q ïîëíûé êâàäðàò
äâó÷ëåíà:
                                 ¡       ¢2 ¡        ¢
                    x2 + px + q = x + p/2 + q − p2 /4 .
 Òàê êàê q − p2 /4 > 0, ïîëîæèì q − p2 /4 = a2 , ñ÷èòàÿ, íàïðèìåð,
                          p
äëÿ îïðåäåëåííîñòè a = + q − p2 /4 .
     Âûáåðåì ïîäñòàíîâêó x + p/2 = t, dx = dt, òàê ÷òî
                                                        ¶     µ
                                                     Mp
       x2 + px + q = t2 + a2 ,     Mx + N = Mt + N −      .
                                                      2
      ñëó÷àå III áóäåì èìåòü
                Z                    Z
                   Mx + N              M t + (N − M p/2)
    JIII =                     dx  =                         dt =
                  x2 + px + q                  t2 + a2
                  Z             µ          ¶Z
                M      2t dt           Mp            dt
            =                 +   N  −                    =
                2    t2 + a2            2         t2 + a2
                                   µ           ¶
                M                1        M  p          t
            =     ln(t2 + a2 ) +     N−           arctg + C =
                2                a         2            a
                M ¡ 2              ¢ 2N − M p             2x + p
            =     ln x + px + q + p                arctg p         + C.
                2                       4q − p2            4q − p2


                                       20

Страницы