Неопределенные интегралы. Желтухин В.С. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

J
n+1
=
1
2na
2
x
(x
2
+ a
2
)
n
+
2n − 1
2n
1
a
2
J
n
.
J
n+1
J
n
J
1
=
1
a
arctg
x
a
+C
1
n = 1
J
2
=
1
2a
2
x
x
2
+ a
2
+
1
2a
3
arctg
x
a
+ C
2
,
C
2
=
1
2a
2
C
1
n = 2
J
3
=
1
4a
2
x
(x
2
+ a
2
)
2
+
3
4a
2
J
2
=
=
1
4a
2
x
(x
2
+ a
2
)
2
+
3
8a
4
x
(x
2
+ a
2
)
+
3
8a
5
arctg
x
a
+ C
3
,
J
n
n
P
n
(x)/Q
m
(x)
P
n
(x) = a
0
+ a
1
x + . . . + a
n
x
n
, Q
m
(x) = b
0
+ b
1
x + . . . + b
m
x
m
,
n m
n ≥ m
P
n
(x)
Q
m
(x)
= P
n
1
(x) +
P
n
2
(x)
Q
m
(x)
,
n
2
< m
n < m
îòêóäà
                              1               x             2n − 1 1
                   Jn+1 =                               +            Jn .             (3)
                             2na2                   n         2n a2
                                        (x2 + a2 )

     Ïîëó÷åííàÿ ôîðìóëà ñâîäèò âû÷èñëåíèå èíòåãðàëà Jn+1 ê âû-
÷èñëåíèþ èíòåãðàëà Jn ñ ïîêàçàòåëåì ñòåïåíè â ïîäèíòåãðàëüíîì
                                                                            1      x
âûðàæåíèè íà åäèíèöó ìåíüøèì. Çíàÿ èíòåãðàë J1 =                              arctg +C1 ,
                                                                            a      a
íàéäåì ïî ôîðìóëå (3) ïðè n = 1,
                            1     x     1        x
                    J2 =              +    arctg   + C2 ,
                           2a2 x2 + a2 2a3       a
              1
ãäå C2 =         C1 . Ïîëàãàÿ â ôîðìóëå (3) n = 2, ïîëó÷èì
             2a2
                  1      x          3
        J3   =                 2 +     J2 =
                 4a2 2      2      4a2
                      (x + a )
                  1        x                 3      x       3        x
             =                      2   +                 +    arctg   + C3 ,
                 4a2                        8a4 (x2 + a2 ) 8a5       a
                       (x2 + a2 )

è ò.ä. Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî âû÷èñëèòü èíòåãðàë Jn äëÿ ëþáîãî
ïîêàçàòåëÿ n. /


4     ÈÍÒÅÃÐÈÐÎÂÀÍÈÅ ÐÀÖÈÎÍÀËÜÍÛÕ
      ÂÛÐÀÆÅÍÈÉ
       Äðîáíî-ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèåé                             íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå
äâóõ ïîëèíîìîâ Pn (x)/Qm (x), ãäå

    Pn (x) = a0 + a1 x + . . . + an xn ,          Qm (x) = b0 + b1 x + . . . + bm xm ,

n è m  íàòóðàëüíûå ÷èñëà.
     Ïðè n ≥ m â äðîáíî-ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè ìîæíî âûäåëèòü
öåëóþ ÷àñòü
                   Pn (x)            Pn (x)
                          = Pn1 (x) + 2     ,
                  Qm (x)             Qm (x)
ãäå n2 < m, òàê ÷òî äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé ïðàâèëüíîé
äðîáè (n < m).

                                               19

Страницы