Неопределенные интегралы. Желтухин В.С. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

J
IV
=
Z
Mx + N
(x
2
+ px + q)
m
dx =
Z
Mt + (N − Mp/2)
(t
2
+ a
2
)
m
dt =
=
M
2
Z
2t dt
(t
2
+ a
2
)
m
+
µ
N −
Mp
2
Z
dt
(t
2
+ a
2
)
m
.
t
2
+ a
2
= u, 2t dt = du
Z
2t dt
(t
2
+ a
2
)
m
=
Z
du
u
m
= −
1
(m − 1)
1
u
m−1
+ C =
= −
1
(m − 1)
1
(t
2
+ a
2
)
m−1
+ C.
m
t = (2x + p)/2
x
P
n
(x)/Q
m
(x)
Q
m
(x)
(x − a)
¡
x
2
+ px + q
¢
Q
m
(x)
Q
m
(x) =
¡
x − a
1
¢
k
1
. . .
¡
x − a
s
¢
k
s
·
·
¡
x
2
+ p
1
x + q
1
¢
m
1
. . .
¡
x
2
+ p
r
x + q
r
¢
m
r
,
k
1
, . . . k
s
m
1
, . . . m
r
      Äëÿ ñëó÷àÿ IV òà æå ïîäñòàíîâêà äàåò
               Z                           Z
                      Mx + N         M t + (N − M p/2)
     JIV =                      dx =                     dt =
                 2
                              m          (t2 + a2 )m
               (x + px + q)
               Z                 µ      ¶Z
             M         2t dt         Mp            dt
           =                 m + N −                     .          (4)
             2       2
                   (t + a )2          2       (t + a2 )m
                                                2


     Ïåðâûé èç èíòåãðàëîâ â ïðàâîé ÷àñòè (4) ëåãêî âû÷èñëÿåòñÿ
ïîäñòàíîâêîé t2 + a2 = u, 2t dt = du:
          Z                    Z
                  2t dt         du         1       1
                         =          =−                +C =
              (t + a2 )m
                2               um     (m − 1) u  m−1

                                   1         1
                           = −                       + C.           (5)
                               (m − 1) (t2 + a2 )m−1

     Âòîðîé èç èíòåãðàëîâ â ïðàâîé ÷àñòè (4) ïðè ëþáîì m ìîæåò
áûòü âû÷èñëåí ïî ðåêóððåíòíîé ôîðìóëå (3). Îñòàåòñÿ ëèøü ïîä-
ñòàâèòü â ðåçóëüòàò t = (2x + p)/2, ÷òîáû âåðíóòüñÿ ê ïåðåìåííîé
x.

     Ïðè èíòåãðèðîâàíèè äðîáíî-ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè ôóíäà-
ìåíòàëüíîå çíà÷åíèå èìååò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà èç îáëàñòè àëãåáðû:
     Êàæäàÿ ïðàâèëüíàÿ äðîáü Pn (x)/Qm (x) ìîæåò áûòü ïðåä-
ñòàâëåíà â âèäå ñóììû êîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòàðíûõ äðîáåé.
     Ýòî ðàçëîæåíèå ïðàâèëüíîé äðîáè íà ýëåìåíòàðíûå òåñíî ñâÿ-
çàíî ñ ðàçëîæåíèåì åå çíàìåíàòåëÿ Qm (x) íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè.
Èçâåñòíî, ÷òî êàæäûé öåëûé ïîëèíîì ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöè-
åíòàìè åäèíñòâåííûì îáðàçîì ðàçëàãàåòñÿ íà âåùåñòâåííûå ìíîæè-
                   ¡           ¢
òåëè âèäà (x − a) è x2 + px + q , ïðè÷åì êâàäðàòè÷íûé òðåõ÷ëåí
íå èìååò âåùåñòâåííûõ êîðíåé. Îáúåäèíÿÿ îäèíàêîâûå ìíîæèòåëè,
è ïîëàãàÿ, äëÿ ïðîñòîòû, ñòàðøèé êîýôôèöèåíò ïîëèíîìà Qm (x)
ðàâíûì åäèíèöå, çàïèøåì ðàçëîæåíèå ýòîãî ïîëèíîìà â âèäå
         ¡      ¢k      ¡      ¢k
 Qm (x) = x − a1 1 . . . x − as s ·
                         ¡              ¢m      ¡              ¢m
                        · x2 + p1 x + q1 1 . . . x2 + pr x + qr r , (6)

ãäå k1 , . . . ks , m1 , . . . mr  íàòóðàëüíûå ÷èñëà.

                                      21

Страницы