Неопределенные интегралы. Желтухин В.С. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

4x
4
+ 4x
3
+ 16x
2
+ 12x + 8 = (2ax + b)(x
3
+ x
2
+ x + 1)−
− (ax
2
+ bx + c)(3x
2
+ 2x + 1) + (dx
2
+ ex + f)(x
3
+ x
2
+ x + 1).
x
a, b, . . . , f
x
5
0 = d d
x
4
4 = −a + e
x
3
4 = −2b + e + f
x
2
16 = a − b − 3c + e + f
x
1
12 = 2a − 2c + e + f
x
0
8 = b − c + f
a = −1 b = 1 c = −4 d = 0 e = 3
f = 3
J = −
x
2
− x + 4
x
3
+ x
2
+ x + 1
+3
Z
dx
x
2
+ 1
= −
x
2
− x + 4
x
3
+ x
2
+ x + 1
+3 arctg x+C. /
∗ ∗ ∗
t = ω(x)
R[x, u(x), . . .]
R[x, u(x), . . .] =
P [x, u(x), . . .]
Q[x, u(x), . . .]
,
P [x, u(x), . . .] Q[x, u(x), . . .]
x, u(x), . . . u(x) x
òåëåé, ïîëó÷èì

4x4 + 4x3 + 16x2 + 12x + 8 = (2ax + b)(x3 + x2 + x + 1)−
   − (ax2 + bx + c)(3x2 + 2x + 1) + (dx2 + ex + f )(x3 + x2 + x + 1).

     Ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ x â îáå-
èõ ÷àñòÿõ ýòîãî ðàâåíñòâà, ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé, èç êîòîðûõ
è îïðåäåëÿòñÿ íåèçâåñòíûå a, b, . . . , f :

       x5 0 = d ( â ïîñëåäóþùåì d â ðàñ÷åò íå áåðåì),
       x4 4 = −a + e ,
       x3 4 = −2b + e + f ,
       x2 16 = a − b − 3c + e + f ,
       x1 12 = 2a − 2c + e + f ,
       x0 8 = b − c + f .
Èç ýòîé ñèñòåìû ñëåäóåò, ÷òî a = −1, b = 1, c = −4, d = 0, e = 3,
f = 3, è èñêîìûé èíòåãðàë
                         Z
       x2 − x + 4              dx          x2 − x + 4
J =− 3             +3               = −                 +3 arctg x+C. /
    x + x2 + x + 1           x2 + 1     x3 + x2 + x + 1

                             ∗     ∗          ∗
     Âûøå îïèñàíû ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ äðîáíî-ðàöèîíàëüíûõ
ôóíêöèé. Â äàëüíåéøåì îñíîâíûì ïðèåìîì èíòåãðèðîâàíèÿ ðàç-
ëè÷íûõ êëàññîâ ôóíêöèé áóäåò ðàçûñêèâàíèå òàêèõ ïîäñòàíîâîê
t = ω(x), êîòîðûå ïðèâåëè áû ïîäèíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå ê ðàöè-
îíàëüíîìó âèäó. Âñþäó íèæå âûðàæåíèå R[x, u(x), . . .] áóäåò îçíà-
÷àòü ðàöèîíàëüíóþ ôóíêöèþ ñâîèõ àðãóìåíòîâ, ò.å.
                                        P [x, u(x), . . .]
                  R[x, u(x), . . .] =                      ,
                                        Q[x, u(x), . . .]
ãäå P [x, u(x), . . .], Q[x, u(x), . . .]  ïîëèíîìû îò ïåðåìåííûõ
x, u(x), . . ., u(x)  çàäàííàÿ ôóíêöèÿ ïåðåìåííîé x.




                                   27

Страницы