Неопределенные интегралы. Желтухин В.С. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

u =
p
3t
2
+ 1
√
8 arctg
r
3t
2
+ 1
8
+ C
0
u =
3t
p
3t
2
+ 1
J
2
= 12
Z
du
27 − 8u
2
=
1
√
6
ln
¯
¯
¯
¯
¯
3
√
3 + 2
√
2u
3
√
3 − 2
√
2u
¯
¯
¯
¯
¯
+ C
00
.
x
J =
√
8 arctg
p
x
2
+ x + 1
√
2(x − 1)
+
+
1
√
6
ln
¯
¯
¯
¯
¯
p
3
p
x
2
+ x + 1 +
p
2(x + 1)
p
3
p
x
2
+ x + 1 −
p
2(x + 1)
¯
¯
¯
¯
¯
+ C.
Z
R
³
x,
p
ax
2
+ bx + c
´
dx
Z
R
³
x,
p
ax
2
+ bx + c
´
dx,
t = x + b/(2a)
ax
2
+ bx + c = ±p
2
t
2
± q
2
( )
Z
R
³
t,
p
p
2
t
2
+ q
2
´
dt ;
( )
Z
R
³
t,
p
p
2
t
2
− q
2
´
dt ;
( )
Z
R
³
t,
p
q
2
− p
2
t
2
´
dt .
                                                          p
Ïåðâûé èíòåãðàë ëåãêî âû÷èñëÿåòñÿ
                          r       ïîäñòàíîâêîé u =           3t2 + 1 è
                        √       3t2 + 1
îêàçûâàåòñÿ ðàâíûì    8 arctg              + C 0 . Êî âòîðîìó ïðèìåíèì
                                    8
                           3t
ïîäñòàíîâêó Àáåëÿ u = p           , êîòîðàÿ ïðèâåäåò åãî ê âèäó
                          3t2 + 1
                 Z                      ¯ √         √ ¯¯
                      du         1      ¯
                                        ¯ 3 3 + 2 2u ¯
         J2 = 12             =  √    ln ¯ √         √ ¯ + C 00 .
                   27 − 8u 2
                                   6 ¯ 3 3 − 2 2u ¯

Îñòàåòñÿ ëèøü âåðíóòüñÿ ê ïåðåìåííîé x:
                 p
      √            x2 + x + 1
 J=       8 arctg √           +
                    2(x − 1)
                              ¯p p           p         ¯
                              ¯    2                   ¯
                         1    ¯ 3 x + x + 1 + 2(x + 1) ¯
                      + √ ln ¯ p p           p         ¯ + C. /
                          6 ¯ 3 x2 + x + 1 − 2(x + 1) ¯
                                        Z    ³ p            ´
Èíòåãðèðîâàíèå âûðàæåíèé âèäà                      2
                                            R x, ax + bx + c dx
   ñ ïîìîùüþ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ è ãèïåðáîëè÷åñêèõ
                    ïîäñòàíîâîê
      Ïðè âû÷èñëåíèè èíòåãðàëîâ âèäà
                    Z    ³ p            ´
                               2
                        R x, ax + bx + c dx,

èíîãäà îêàçûâàþòñÿ óäîáíûìè òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ èëè ãèïåðáîëè-
÷åñêàÿ ïîäñòàíîâêè.
     Âûäåëèì â ïîäêîðåííîì âûðàæåíèè, âõîäÿùåì â èíòåãðàë,
ïîëíûé êâàäðàò è ïðèìåíèì ïîäñòàíîâêó t = x + b/(2a). Â ðåçóëü-
òàòå ïîëó÷èì: ax2 + bx + c = ±p2 t2 ± q 2 , à èíòåãðàë ïðèâåäåòñÿ ê
îäíîìó èç ñëåäóþùèõ èíòåãðàëîâ
                            Z³ p           ´
                     (I)          2 2
                            R t, p t + q 2   dt ;
                          Z  ³ p           ´
                    (II)          2 2
                            R t, p t − q 2   dt ;
                          Z  ³ p           ´
                    (III)         2   2  2
                            R t, q − p t dt .


                                  42

Страницы