Неопределенные интегралы. Желтухин В.С. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

J =
Z
q
¡
ch
2
t − 1
¢
3
dt =
Z
sh
4
t dt =
Z
µ
ch 2t − 1
2
2
dt =
=
1
4
Z
ch
2
2t dt −
1
2
Z
ch 2t dt +
1
4
Z
dt =
=
1
8
Z
(ch 4t + 1) dt −
1
4
sh 2t +
1
4
t =
=
1
32
sh 4t −
1
4
sh 2t +
3
8
t + C.
x
t = Arch x = ln
³
x +
p
x
2
− 1
´
;
sh 2t = 2 sh t ch t = 2x
p
x
2
− 1;
sh 4t = 2 sh 2t ch 2t = 4x
p
x
2
− 1
¡
2x
2
− 1
¢
.
J =
1
8
x
¡
2x
2
− 1
¢
p
x
2
− 1 −
1
2
x
p
x
2
− 1 +
3
8
ln
³
x +
p
x
2
− 1
´
+ C.
J =
Z
dx
³
1 +
p
x
´
p
x − x
2
x = sin
2
t, dx = 2 sin t cos t dt.
J =
Z
2 sin t cos t dt
(1 + sin t)
s
sin
2
t − sin
4
t
=
Z
2 dt
1 + sin t
= 2
Z
1 − sin t
cos
2
t
dt =
= 2 tg t −
2
cos t
+ C =
2
√
x
√
1 − x
−
2
√
1 − x
+ C =
2(
√
x − 1)
√
1 − x
+ C. 
Òîãäà
            Z q                     Z            Z µ           ¶2
                  ¡ 2       ¢3                       ch 2t − 1
  J =              ch t − 1 dt = sh4 t dt =                       dt =
                                                         2
               Z                Z              Z
            1       2         1              1
        =         ch 2t dt −      ch 2t dt +     dt =
            4Z                2              4
            1                     1         1
        =        (ch 4t + 1) dt − sh 2t + t =
            8                     4         4
             1          1         3
        =       sh 4t − sh 2t + t + C.
            32          4         8
Âîçâðàòèìñÿ ê ïåðåìåííîé x:
                                       ³           p        ´
                  t = Arch x = ln x +        −1 ;      x2
                                      p
              sh 2t = 2 sh t ch t = 2x x2 − 1;
                                        p      ¡       ¢
              sh 4t = 2 sh 2t ch 2t = 4x x2 − 1 2x2 − 1 .

Ñëåäîâàòåëüíî,
   1 ¡ 2    ¢p
                2
                      1 p 2     3 ³    p
                                         2
                                             ´
J = x 2x − 1   x − 1 − x x − 1 + ln x + x − 1 + C. /
   8                  2         8

     Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ïîäñòàíîâêè ìîãóò áûòü ïîëåçíû è â äðó-
ãèõ ñëó÷àÿõ, íå îòìå÷åííûõ âûøå.
                                           Z
                                                       dx
Ï ð è ì å ð 49. Âû÷èñëèòü J =                  ³     p ´p       .
                                                   1+ x   x−x 2

      . Ïðèìåíèì ïîäñòàíîâêó

                      x = sin2 t,    dx = 2 sin t cos t dt.

Ïîëó÷èì
        Z                                      Z                  Z
                  2 sin t cos t dt                   2 dt             1 − sin t
J =                   s                    =                 =2                 dt =
                                                   1 + sin t            cos2 t
            (1 + sin t) sin2 t − sin4 t
                          √                √
              2          2 x      2      2( x − 1)
  = 2 tg t −       +C = √     −√     +C = √        + C. /
             cos t        1−x    1−x        1−x



                                       44

Страницы