Неопределенные интегралы. Желтухин В.С. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Z
x
m
(ax
n
+ b)
p
dx,
a, b a 6= 0 b 6= 0 m, n, p
n 6= 0 p 6= 0
p
t = x
N
N m n
m + 1
n
ax
n
+ b = t
s
s p
m + 1
n
+p a+bx
−n
= t
s
s p
J =
Z
3
p
1 +
4
√
x
√
x
=
Z
x
−1/2
³
1 + x
1/4
´
1/3
dx
m = −
1
2
, n =
1
4
, p =
1
3
;
m + 1
n
=
−(1/2) + 1
(1/4)
= 2,
1 +
4
√
x = t
3
, x =
¡
t
3
− 1
¢
4
, dx = 12t
2
¡
t
3
− 1
¢
3
dt.
J = 12
Z
¡
t
6
− t
3
¢
dt =
3
7
t
4
(4t
3
− 7) + C =
=
3
7
¡
1 +
4
√
x
¢
4/3
¡
4
4
√
x − 3
¢
+ C. 
          Èíòåãðèðîâàíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî áèíîìà
      Èíòåãðàëû âèäà
                         Z                   p
                             xm (axn + b) dx,                    (28)

ãäå a, b  ëþáûå ïîñòîÿííûå (a 6= 0, b 6= 0), ïîêàçàòåëè m, n, p
 ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà, (n 6= 0, p 6= 0), íàçûâàþò èíòåãðàëîì îò
äèôôåðåíöèàëüíîãî áèíîìà. Èíòåãðàë (28) ñâîäèòñÿ ê èíòåãðàëó îò
ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè â ñëåäóþùèõ òðåõ ñëó÷àÿõ:

 1) p  öåëîå ÷èñëî; â ýòîì ñëó÷àå ïðèìåíÿåòñÿ ïîäñòàíîâêà
    t = xN , ãäå N  îáùèé çíàìåíàòåëü äðîáåé m è n;
      m+1
 2)           öåëîå ÷èñëî; ê öåëè âåäåò ïîäñòàíîâêà axn + b = ts ,
        n
      ãäå s  çíàìåíàòåëü äðîáè p;
      m+1
 3)         +p  öåëîå ÷èñëî; ïðèìåíÿåòñÿ ïîäñòàíîâêà a+bx−n = ts ,
        n
      ãäå s  çíàìåíàòåëü äðîáè p.

     Åñëè íè îäíî èç óêàçàííûõ óñëîâèé íå âûïîëíÿåòñÿ, òî ñîãëàñ-
íî òåîðåìå ×åáûøåâà èíòåãðàë (28) íå ìîæåò áûòü âûðàæåí ÷åðåç
ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè .
                         Z p     √  Z       ³         ´1/3
                           3
                             1+ 4x
Ï ð è ì å ð 50. J =          √     = x −1/2
                                              1+x 1/4
                                                           dx.
                               x
      . Çäåñü
                        1              1           1
                     m=− ,       n=      ,       p= ;
                        2              4           3
òàê êàê
                      m + 1 −(1/2) + 1
                            =          = 2,
                        n       (1/4)
òî èìååì âòîðîé ñëó÷àé èíòåãðèðóåìîñòè. Ïîëîæèì
          √               ¡     ¢4          ¡      ¢3
       1 + 4 x = t3 , x = t3 − 1 , dx = 12t2 t3 − 1 dt.

Òîãäà
                     Z
                       ¡6      ¢        3
            J = 12      t − t3 dt = t4 (4t3 − 7) + C =
                                        7
                  3 ¡    √  ¢ 4/3 ¡ √       ¢
                =     1+ 4x        4 4 x − 3 + C. /
                  7

                                  45

Страницы