Неопределенные интегралы. Желтухин В.С. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

J =
Z
dx
4
p
1 + x
4
=
Z
x
0
¡
1 + x
4
¢
−1/4
dx
m = 0, n = 4, p = −
1
4
;
m + 1
n
+ p =
1
4
−
1
4
= 0.
1 + x
−4
=
x
4
+ 1
x
4
= t
4
, x =
¡
t
4
− 1
¢
−1/4
, dx = −t
3
¡
t
4
− 1
¢
−5/4
dt,
4
p
1 + x
4
= tx = t
¡
t
4
− 1
¢
−1/4
J = −
Z
t
2
dt
t
4
− 1
=
1
4
Z
µ
1
t + 1
−
1
t − 1
dt −
1
2
Z
dt
t
2
+ 1
=
=
1
4
ln
¯
¯
¯
¯
t + 1
t − 1
¯
¯
¯
¯
−
1
2
arctg t + C =
=
1
4
ln
4
p
1 + x
4
+ x
4
p
1 + x
4
− x
−
1
2
arctg
4
p
1 + x
4
x
+ C.
z = x
n
Z
x
m
(ax
n
+ b)
p
dx =
1
n
Z
(az + b)
p
z
q
dz =
1
n
J
p, q
,
q =
m + 1
n
− 1 J
p, q
1) p ; 2) q ; 3) p + q .
J
p, q
                          Z                    Z
                                    dx               ¡       ¢−1/4
Ï ð è ì å ð 51. J =               p        =       x0 1 + x4       dx.
                                  4
                                    1 + x4
      . Çäåñü
                                       1
                        m = 0,      p=− ;
                                      n = 4,
                                       4
òðåòèé ñëó÷àé èíòåãðèðóåìîñòè, òàê êàê
                          m+1      1 1
                              + p = − = 0.
                           n       4 4
Ïîëîæèì
          x4 + 1                   ¡4    ¢−1/4                ¡         ¢−5/4
1 + x−4 =            =  t4
                           ,  x  =  t − 1      ,  dx  =  −t 3 4
                                                                t −   1       dt,
            x4
        p                       ¡     ¢−1/4
òàê ÷òî 4 1 + x4 = tx = t t4 − 1            è
            Z 2                 Z µ               ¶          Z
                   t dt       1       1        1          1         dt
    J = −          4
                            =             −          dt −         2
                                                                          =
                 t −1 4              t+1 t−1              2 t +1
               ¯         ¯
          1 ¯¯ t + 1 ¯¯ 1
      =     ln             − arctg t + C =
          4 ¯t − 1¯ 2
               p                            p
          1      4
                     1 + x4 + x 1           4
                                              1 + x4
      =     ln p                  − arctg             + C. /
          4      4
                    1 + x4 − x 2                x

       ñëó÷àå, êîãäà ïîêàçàòåëè ÿâëÿþòñÿ áîëüøèìè íåïðàâèëüíû-
ìè äðîáÿìè, èíòåãðèðîâàíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî áèíîìà îáëåã÷àåò-
ñÿ èñïîëüçîâàíèåì ôîðìóë ïðèâåäåíèÿ. Ïðåäâàðèòåëüíî, ñ ïîìîùüþ
ïîäñòàíîâêè z = xn èíòåãðàë ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó
            Z                            Z
                              p   1                                1
                xm (axn + b) dx =             (az + b)p z q dz =     Jp, q ,   (29)
                                  n                                n
          m+1
ãäå q =       − 1. Óñëîâèÿ èíòåãðèðóåìîñòè äëÿ Jp, q ïðèíèìàþò
           n
âèä:
            1) p  öåëîå;         2) q  öåëîå;     3) p + q  öåëîå.
      Äëÿ èíòåãðàëà Jp, q èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå ôîðìóëû ïðèâå-




                                         46

Страницы