Неопределенные интегралы. Желтухин В.С. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

m
H
m
H
1
=
Z
x dx
p
1 − x
2
= −
p
1 − x
2
+ C,
m
H
0
=
Z
dx
p
1 − x
2
= arcsin x + C ,
m
m < −1 m = −µ, µ > 1
J
−
1
2
,
m−1
2
= 2
(1 − z)
1/2
z
(m+1)/2
m + 1
+
m + 2
m + 1
J
−
1
2
,
m+1
2
,
H
−µ
= −
x
−(µ−1)
p
1 − x
2
µ − 1
+
µ − 2
µ − 1
H
−(µ−2)
.
µ H
−µ
H
−1
=
Z
dx
x
p
1 − x
2
= ln
¯
¯
¯
¯
¯
1 −
p
1 − x
2
x
¯
¯
¯
¯
¯
+ C,
µ
H
−2
=
Z
dx
x
2
p
1 − x
2
= −
p
1 − x
2
x
+ C,
m /
Z
R(sin x, cos x) dx
t = tg
x
2
(−π < x < π).
     Ýòà ôîðìóëà, óìåíüøàÿ çíà÷åíèå m íà 2, ïîñëåäîâàòåëüíî ñâî-
äèò âû÷èñëåíèå Hm ëèáî ê
                          Z                   p
                                   x dx
                 H1 =             p        = − 1 − x2 + C,
                                    1 − x2
ïðè m íå÷åòíîì, ëèáî æå ê
                              Z
                                       dx
                   H0 =            p              = arcsin x + C,
                                     1 − x2
ïðè m ÷åòíîì.
     Ïóñòü òåïåðü m < −1, òàê ÷òî m = −µ, µ > 1. Ïðèìåíèì íà
ýòîò ðàç ôîðìóëó (II)
                          (1 − z)1/2 z (m+1)/2 m + 2
         J− 12 , m−1   =2                     +      J 1 m+1 ,
                  2             m+1             m + 1 −2, 2
îòêóäà                       p
                      x−(µ−1) 1 − x2 µ − 2
            H−µ = −                   +      H−(µ−2) .
                           µ−1          µ−1
     Ñ ïîìîùüþ ýòîé ôîðìóëû ìû èìååì âîçìîæíîñòü óìåíüøàòü
çíà÷åíèå µ íà 2, è ïîñëåäîâàòåëüíî ñâåñòè âû÷èñëåíèå H−µ ëèáî ê
                   Z                ¯   p        ¯
                                    ¯          2 ¯
                         dx         ¯1 − 1 − x ¯
           H−1 =       p       = ln ¯            ¯ + C,
                     x 1 − x2       ¯     x      ¯
ïðè µ íå÷åòíîì, ëèáî æå ê
                         Z                            p
                                 dx                    1 − x2
              H−2 =             p       =−                    + C,
                              x2 1 − x2                 x
ïðè m ÷åòíîì. /


6   ÈÍÒÅÃÐÈÐÎÂÀÍÈÅ ÒÐÀÍÑÖÅÍÄÅÍÒÍÛÕ
    ÔÓÍÊÖÈÉ
                                                          Z
    Èíòåãðèðîâàíèå âûðàæåíèé âèäà                             R(sin x, cos x) dx

     Äèôôåðåíöèàëû ýòîãî âèäà âñåãäà ìîãóò áûòü ðàöèîíàëèçè-
ðîâàíû ñ ïîìîùüþ óíèâåðñàëüíîé òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ïîäñòàíîâ-
êè
                                     x
                          t = tg            (−π < x < π).
                                     2
                                             48

Страницы