Неопределенные интегралы. Желтухин В.С. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

J =
Z
dx
sin
4
x cos
2
x
sin x −sin x cos x −cos x
t = tg x, dx =
dt
1 + t
2
, sin
2
x =
t
2
1 + t
2
, cos
2
x =
1
1 + t
2
,
J =
Z
¡
t
2
+ 1
¢
2
t
4
dt =
= t +
2
t
+
1
3t
3
+ C = tg x − 2 ctg x +
1
3
ctg
3
x + C.
J =
1
2
Z
1 − r
2
1 − 2r cos x + r
2
dx
t = tg(x/2)
J = (1 − r
2
)
Z
dt
(1 − r)
2
+ (1 + r)
2
t
2
=
= arctg
µ
1 + r
1 − r
t
+ C = arctg
µ
1 + r
1 − r
tg
x
2
+ C.
R(sin x, cos x)
J =
Z
dx
sin x cos
2
x
sin
2
x + cos
2
x = 1
J =
Z
sin
2
x + cos
2
x
sin x cos
2
x
dx =
Z
sin x
cos
2
x
dx +
Z
dx
sin x
=
= −
Z
d cos x
cos
2
x
−
Z
d cos x
1 − cos
2
x
=
1
cos x
+
1
2
ln
1 − cos x
1 + cos x
+ C.
Z
R(sh x, ch x) dx
R(sin x, cos x) dx
t = th
x
2
                                       Z
                                             dx
Ï ð è ì å ð 55. Âû÷èñëèòü J =                         .
                                        sin4 x cos2 x
      . Ïîäèíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå íå èçìåíÿåò çíàê ïðè çàìåíå
sin x íà − sin x è cos x íà − cos x . Ïîäñòàíîâêà
                        dt         2       t2                    1
    t = tg x,    dx =        ,   sin x =        ,   cos2 x =          ,
                      1 + t2             1 + t2                1 + t2
ïðèâîäèò èñêîìûé èíòåãðàë ê âèäó
      Z ¡            ¢2
            t2 + 1
 J=                       dt =
               t4
                   2   1                        1
                     + 3 + C = tg x − 2 ctg x + ctg3 x + C. /
                     =t+
                   t 3t                         3
                                Z
                              1        1 − r2
Ï ð è ì å ð 56. Âû÷èñëèòü J =                       dx.
                              2   1 − 2r cos x + r2
    . Ïðèìåíèì óíèâåðñàëüíóþ ïîäñòàíîâêó t = tg(x/2). Èìååì
               Z
                           dt
 J = (1 − r2 )                           =
                  (1 − r)2 + (1 + r)2 t2
                         µ        ¶            µ       ¶
                           1+r                   1+r x
                 = arctg         t + C = arctg      tg   + C. /
                           1−r                   1−r 2
      íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ èíòåãðèðîâàíèå âûðàæåíèé âèäà
R(sin x, cos x) ìîæåò áûòü ïðîâåäåíî äðóãèìè ìåòîäàìè.
                                       Z
                                             dx
Ï ð è ì å ð 57. Âû÷èñëèòü J =                        .
                                        sin x cos2 x
    . Èñïîëüçóåì òîæäåñòâî sin2 x + cos2 x = 1; ïîëó÷èì
       Z                        Z                Z
          sin2 x + cos2 x            sin x             dx
  J =                 2x
                          dx  =         2x
                                           dx  +           =
         Z  sin x cos   Z           cos              sin x
             d cos x        d cos x        1       1 1 − cos x
    = −              −                 =        +    ln        + C. /
             cos2 x       1 − cos2 x cos x 2 1 + cos x
                                                Z
    Èíòåãðèðîâàíèå âûðàæåíèé âèäà                   R(sh x, ch x) dx.

     Äèôôåðåíöèàëû ýòîãî âèäà, òàê æå, êàê è òðèãîíîìåòðè÷åñêèå
äèôôåðåíöèàëû R(sin x, cos x) dx, âñåãäà ìîæíî ïðèâåñòè ê ðàöèî-
                                                          x
íàëüíîìó âèäó ñ ïîìîùüþ óíèâåðñàëüíîé ïîäñòàíîâêè t = th . Ïðè
                                                                    2
                                    50

Страницы