Неопределенные интегралы. Желтухин В.С. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

α β
(
4α + 5β = 2,
5α + 4β = 3,
α = 7/9 β = −2/9
J =
7
9
Z
dx −
2
9
Z
4 ch x + 5 sh x
4 sh x + 5 ch x
dx =
=
7
9
x −
2
9
Z
d(4 sh x + 5 ch x)
4 sh x + 5 ch x
=
=
7
9
x −
2
9
ln(4 sh x + 5 ch x) + C.
Z
sin
ν
x · cos
µ
x dx
Z
sh
ν
x · ch
µ
x dx
J
1
=
Z
sin
ν
x cos
µ
x dx, J
2
=
Z
sh
ν
x ch
µ
x dx
µ, ν
t = sin x, t = cos x,
t = sh x, t = ch x,
t = sin
2
x, dt = 2 sin x cos x dx,
J
1
J
p, q
J
1
=
1
2
Z
sin
ν−1
¡
1 − sin
2
x
¢
µ−1
2
· 2 sin x cos x dx =
=
1
2
Z
(1 − t)
µ−1
2
t
ν−1
2
dt =
1
2
J
µ−1
2
;
ν−1
2
.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ α è β ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé
                                    (
                                        4α + 5β = 2,
                                        5α + 4β = 3,

îòêóäà α = 7/9, β = −2/9. Ñëåäîâàòåëüíî,
        Z                 Z
    7              2          4 ch x + 5 sh x
 J=           dx −                            dx =
    9              9          4 sh x + 5 ch x

                                        Z
                           7   2             d(4 sh x + 5 ch x)
                          = x−                                  =
                           9   9              4 sh x + 5 ch x
                                                 7     2
                                              = x − ln(4 sh x + 5 ch x) + C. /
                                                 9     9

                    Èíòåãðèðîâàíèå
                     Z                   âûðàæåíèé
                                           Z             âèäà
                       sinν x · cosµ x dx,   shν x · chµ x dx

     Èíòåãðàëû âèäà
                      Z                                     Z
              J1 =            ν       µ
                           sin x cos x dx,           J2 =       shν x chµ x dx

(µ, ν  ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà) ïîäñòàíîâêàìè

                                  t = sin x,        t = cos x,

è, ñîîòâåòñòâåííî,
                                  t = sh x,         t = ch x,
âñåãäà ìîæíî ïðèâåñòè ê èíòåãðàëó îò äèôôåðåíöèàëüíîãî áèíîìà.
     Çíà÷èòåëüíî áîëüøèé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ïîäñòàíîâêà

                          t = sin2 x,       dt = 2 sin x cos x dx,

êîòîðàÿ ïðèâîäèò èíòåãðàë J1 ê èíòåãðàëó Jp, q , îïðåäåëåííîìó ôîð-
ìóëîé (29) íà ñ. 46:
          Z
      1             ν−1
                          ¡       2
                                    ¢ µ−1
 J1 =         sin          1 − sin x 2 · 2 sin x cos x dx =
      2                                     Z
                                          1           µ−1 ν−1   1
                                        =     (1 − t) 2 t 2 dt = J µ−1 ; ν−1 .
                                          2                     2 2 2

                                               52

Страницы