Неопределенные интегралы. Желтухин В.С. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

J
1
µ ν
µ + ν
ν µ
t = cos x t = sin x
µ ν
t = tg x
t = ctg x
µ ν
sin x cos x =
sin 2x
2
, sin
2
x =
1 − cos 2x
2
, cos
2
x =
1 + cos 2x
2
.
ν = 2n, µ = 2m ν ≥ µ
sin
2n
x cos
2m
x = (sin x cos x)
2m
sin
2(n−m)
x =
=
µ
sin 2x
2
2m
µ
1 − cos 2x
2
n−m
,
ν < µ
sin
2n
x cos
2m
x = (sin x cos x)
2n
cos
2(m−n)
x =
=
µ
sin 2x
2
2n
µ
1 + cos 2x
2
n−m
.
C sin
ν
1
2x · cos
µ
1
2x,
ν
1
+ µ
1
≥ n + m =
ν + µ
2
ν
1
µ
1
sin 4x cos 4x
µ ν
      Èç óñëîâèé èíòåãðèðóåìîñòè äèôôåðåíöèàëüíîãî áèíîìà ñëå-
äóåò, ÷òî èíòåãðàë J1 áåðåòñÿ â êîíå÷íîì âèäå, åñëè µ èëè ν åñòü
íå÷åòíîå öåëîå ÷èñëî, ëèáî åñëè µ + ν åñòü ÷åòíîå öåëîå ÷èñëî.
      Åñëè ïîêàçàòåëü ν (èëè µ) áóäåò íå÷åòíûì, òî ðàöèîíàëèçà-
öèÿ ñðàçó äîñòèãàåòñÿ ïîäñòàíîâêîé t = cos x (èëè t = sin x). Åñëè
æå îáà ïîêàçàòåëÿ µ è ν ÷åòíûå (à òàêæå åñëè îíè îáà íå÷åòíûå),
òî ìîæíî äëÿ òîé æå öåëè ïðèìåíèòü ïîäñòàíîâêó t = tg x èëè
t = ctg x.
      Åñëè ïîêàçàòåëè µ è ν îáà ïîëîæèòåëüíûå ÷åòíûå ÷èñëà, òî
ïðåäïî÷òèòåëüíåå äðóãîé ïðèåì, îñíîâàííûé íà èñïîëüçîâàíèè ôîð-
ìóë
                  sin 2x                1 − cos 2x                1 + cos 2x
  sin x cos x =          ,   sin2 x =              ,   cos2 x =              .
                     2                      2                         2
Èìåííî, åñëè ν = 2n,         µ = 2m, òî ïðè ν ≥ µ ïîëó÷èì

          sin2n x cos2m x = (sin x cos x)2m sin2(n−m) x =
                            µ        ¶2m µ             ¶n−m
                              sin 2x        1 − cos 2x
                          =                                 ,
                                 2               2
à ïðè ν < µ

          sin2n x cos2m x = (sin x cos x)2n cos2(m−n) x =
                            µ        ¶2n µ             ¶n−m
                              sin 2x        1 + cos 2x
                          =                                 .
                                 2               2
 ðàçâåðíóòîì âèäå ïîëó÷èòñÿ ñóììà ÷ëåíîâ âèäà

                             C sinν1 2x · cosµ1 2x,
                             ν+µ
ãäå ν1 + µ1 ≥ n + m =         . Òå ÷ëåíû, ó êîòîðûõ õîòÿ áû îäèí èç
                          2
ïîêàçàòåëåé ν1 , èëè µ1 åñòü íå÷åòíîå ÷èñëî, ëåãêî èíòåãðèðóþòñÿ ïî
óêàçàííîìó âûøå ñïîñîáó. Îñòàëüíûå ÷ëåíû ïîäâåðãàåì ïîäîáíîìó
æå ðàçëîæåíèþ, ïåðåõîäÿ ê sin 4x è cos 4x, è ò.ä. Òàê êàê ïðè êàæ-
äîì ðàçëîæåíèè ñóììà ïîêàçàòåëåé óìåíüøàåòñÿ, ïî êðàéíåé ìåðå,
âäâîå, òî ïðîöåññ áûñòðî çàâåðøàåòñÿ.
      Ïðè áîëüøèõ ïîêàçàòåëÿõ ñòåïåíåé µ è ν (íå îáÿçàòåëüíî öå-
ëûõ) èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå ôîðìóëû ïðèâåäåíèÿ, âûòåêàþùèå èç

                                        53

Страницы