Неопределенные интегралы. Желтухин В.С. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Z
sh
ν
x ch
µ
x dx.
J =
Z
sin
2
x cos
4
x dx
t = tg x
sin
2
x cos
4
x =
1
8
sin
2
2x (cos 2x +1) =
1
8
sin
2
2x cos 2x +
1
16
(1−cos 4x);
J =
1
48
sin
3
2x +
1
16
x −
1
64
sin 4x + C .
J =
Z
cos
4
x
sin
3
x
dx
t = cos x
Z
cos
4
x
sin
3
x
dx = −
cos
5
x
2 sin
2
x
−
3
2
Z
cos
4
x
sin x
dx,
Z
cos
4
x
sin x
dx =
1
3
cos
3
x +
Z
cos
2
x
sin x
dx =
=
1
3
cos
3
x + cos x + ln
¯
¯
¯
tg
x
2
¯
¯
¯
+ C,
J = −
cos
5
x
2 sin
2
x
− cos x −
3
2
ln
¯
¯
¯
tg
x
2
¯
¯
¯
+ C.
P
n
(x)e
ax
, P
n
(x) sin bx,
P
n
(x)
e
x
x
n
,
sin x
x
n
,
     Àíàëîãè÷íûå ïðèåìû ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðà-
ëîâ îò ãèïåðáîëè÷åñêèõ ôóíêöèé âèäà
                              Z
                                  shν x chµ x dx.
                                          Z
Ï ð è ì å ð 60. Âû÷èñëèòü J =                 sin2 x cos4 x dx.
     . Çäåñü ïðèãîäíà ïîäñòàíîâêà t = tg x, íî ïðîùå âîñïîëüçî-
âàòüñÿ ôîðìóëàìè ïîíèæåíèÿ ñòåïåíè:
                  1 2                    1                1
sin2 x cos4 x =     sin 2x (cos 2x + 1) = sin2 2x cos 2x + (1 − cos 4x);
                  8                      8                16
ïîýòîìó
                    1              1     1
                  J=   sin3 2x + x −        sin 4x + C. /
                    48            16    64
                                     Z
                                       cos4 x
Ï ð è ì å ð 61. Âû÷èñëèòü J =                  dx.
                                       sin3 x
      . Ïðèãîäíà ïîäñòàíîâêà t = cos x, íî ïðîùå âîñïîëüçîâàòüñÿ II
è III ôîðìóëàìè ïðèâåäåíèÿ:
           Z                               Z
             cos4 x             cos5 x   3 cos4 x
                    dx = −             −              dx,
             sin3 x            2 sin2 x 2       sin x
           Z                           Z
             cos4 x          1    3       cos2 x
                    dx =       cos x +            dx =
              sin x          3             sin x
                             1                     ¯ x¯
                                  3                ¯    ¯
                         =     cos x + cos x + ln ¯tg ¯ + C,
                             3                        2
òàê ÷òî ïîñëå óïðîùàþùèõ ïðåîáðàçîâàíèé
                        cos5 x           3 ¯¯ x ¯¯
                  J =−          − cos x − ln ¯tg ¯ + C. /
                       2 sin2 x          2      2

                        Îáçîð äðóãèõ ñëó÷àåâ.
     Â ðàçäåëå 3 ïîêàçàíî, êàê èíòåãðèðóþòñÿ âûðàæåíèÿ âèäà

                          Pn (x)eax ,    Pn (x) sin bx,

ãäå Pn (x)  öåëûé ïîëèíîì. Îòìåòèì, ÷òî äðîáíûå âûðàæåíèÿ
                                  ex      sin x
                                     ,          ,
                                  xn       xn
                                         55

Страницы