Неопределенные интегралы. Желтухин В.С. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Z
e
x
x
dx =
Z
dy
ln y
= li(y) + C , y ∈ (0, 1)
Z
sin x
x
dx = Si(x) + C , x ∈ (−∞, +∞)
1
√
2π
Z
e
−x
2
dx = Φ
0
(x) + C , x ∈ (−∞, +∞)
li(x) Si(x) Φ
0
(x)
x
ln x
,
sin x
x
,
1
√
2π
e
−x
2
,
Si(0) = 0, lim
y→0+
li(y) = 0, Φ
0
(0) = 0.
li(x)
J =
Z
dx
ln
2
x
u = x, dv =
dx
x ln
2
x
du = dx, v =
Z
dx
x ln
2
x
=
Z
d ln x
ln
2
x
= −
1
ln x
.
J = −
x
ln x
+
Z
dx
ln x
= −
x
ln x
+ li(x) + C . 
óæå íå èíòåãðèðóþòñÿ â êîíå÷íîì âèäå.
     Ñ ïîìîùüþ èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì ëåãêî óñòàíîâèòü äëÿ
èíòåãðàëîâ îò ýòèõ âûðàæåíèé ðåêóððåíòíûå ôîðìóëû è ñâåñòè èõ,
ñîîòâåòñòâåííî, ê ñëåäóþùèì îñíîâíûì èíòåãðàëàì

(èíòåãðàëüíûé ëîãàðèôì)
                     Z             Z
                         ex             dy
                            dx =            = li(y) + C, y ∈ (0, 1)
                         x             ln y
(èíòåãðàëüíûé ñèíóñ)
              Z
                     sin x
                           dx = Si(x) + C, x ∈ (−∞, +∞)
                       x
(èíòåãðàë âåðîÿòíîñòåé)
                 Z
           1              2
          √          e−x dx = Φ0 (x) + C, x ∈ (−∞, +∞)
            2π


     Ïîä÷åðêíåì, ÷òî âñå ýòè èíòåãðàëû ðåàëüíî ñóùåñòâóþò,
íî îíè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñîâåðøåííî íîâûå ôóíêöèè è
íå ïðèâîäÿòñÿ ê òåì ôóíêöèÿì, êîòîðûå íàçûâàþò ýëåìåí-
òàðíûìè. Ïðè ýòîì ñèìâîëàìè li(x), Si(x), Φ0 (x) îáîçíà÷àþòñÿ òå
ïåðâîîáðàçíûå ôóíêöèé
                    x     sin x    1   2
                        ,       , √ e−x ,
                   ln x     x      2π
êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:
              Si(0) = 0,       lim li(y) = 0,      Φ0 (0) = 0.
                               y→0+

Ï ð è ì å ð 62. Âûðàçèòü ÷åðåç èíòåãðàëüíûé
                                 Z          ëîãàðèôì li(x) è
                                              dx
ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè èíòåãðàë J =                  .
                                            ln2 x
     . Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì, ïîëî-
                    dx
æèâ u = x, dv =           òàê, ÷òî
                  x ln2 x Z             Z
                                dx          d ln x        1
          du = dx, v =                =              = −      .
                              x ln2 x        ln2 x       ln x
Òîãäà                     Z
                    x         dx        x
            J =−        +          =−        + li(x) + C. /
                  ln x       ln x      ln x

                                        56

Страницы