Неопределенные интегралы. Желтухин В.С. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

J
p, q
= −
(az + b)
p+1
z
q+1
b(p + 1)
+
p + q + 2
b(p + 1)
J
p+1, q
, (p 6= −1),
J
p, q
=
(az + b)
p+1
z
q+1
b(q + 1)
− a
p + q + 2
b(q + 1)
J
p, q+1
, (q 6= −1),
J
p, q
=
(az + b)
p
z
q+1
p + q + 1
+
bp
p + q + 1
J
p−1, q
, (p + q 6= −1),
J
p, q
=
(az + b)
p+1
z
q
a(p + q + 1)
−
bq
a(p + q + 1)
J
p, q−1
, (p + q 6= −1),
p q
H
m
=
Z
x
m
dx
p
1 − x
2
(m ),
m
n = 2 p = −1/2 m
m + 1
n
=
m + 1
2
,
m
m + 1
n
+ p =
m + 1
2
−
1
2
=
m
2
,
z = x
2
1
2
Z
(1 − z)
−1/2
z
(m−1)/2
dz =
1
2
J
−
1
2
,
m−1
2
.
m > 1
J
−
1
2
,
m−1
2
= −2
(1 − z)
1/2
z
(m−1)/2
m
+
m − 1
m
J
−
1
2
,
m−3
2
,
H
m
= −
1
m
x
m−1
p
1 − x
2
+
m − 1
m
H
m−2
.
äåíèÿ:
                    (az + b)p+1 z q+1 p + q + 2
     (I) Jp, q = −                    +           Jp+1, q , (p 6= −1),
                        b(p + 1)         b(p + 1)
                 (az + b)p+1 z q+1      p+q+2
    (II) Jp, q =                    −a            Jp, q+1 , (q 6= −1),
                     b(q + 1)           b(q + 1)
                 (az + b)p z q+1       bp
   (III) Jp, q =                 +            Jp−1, q , (p + q 6= −1),
                   p+q+1            p+q+1
                 (az + b)p+1 z q         bq
   (IV) Jp, q =                  −               Jp, q−1 , (p + q 6= −1),
                  a(p + q + 1)      a(p + q + 1)
êîòîðûå ïîçâîëÿþò óìåíüøèòü èëè óâåëè÷èòü ïîêàçàòåëè p èëè q
íà åäèíèöó.

Ï ð è ì å ð 52. Ïîëó÷èòü ðåêóððåíòíóþ ôîðìóëó äëÿ èíòåãðàëà
                             Z
                           xm dx
                   Hm =   p         (m  öåëîå),
                            1 − x2
è óñòàíîâèòü, ê êàêèì âûðàæåíèÿì ñâîäèòñÿ âû÷èñëåíèå èíòåãðàëà
ïðè ðàçíûõ m.
     . Çäåñü n = 2, p = −1/2; ïîýòîìó ïðè m íå÷åòíîì îêàçûâàåòñÿ
öåëûì ÷èñëî
                         m+1 m+1
                                =       ,
                           n        2
à ïðè m ÷åòíîì  ÷èñëî
                   m+1             m+1 1 m
                          +p=             − = ,
                      n              2       2   2
òàê ÷òî âî âñåõ ñëó÷àÿõ èíòåãðàë áåðåòñÿ â êîíå÷íîì âèäå. Ïîäñòà-
íîâêîé z = x2 ñâåäåì åãî ê èíòåãðàëó
                 Z
               1                               1
                   (1 − z)−1/2 z (m−1)/2 dz = J− 12 , m−1 .
               2                               2       2


     Åñëè, ñ÷èòàÿ m > 1, ïðèìåíèòü ê ïîñëåäíåìó èíòåãðàëó ôîð-
ìóëó (IV), òî ïîëó÷èì
                      (1 − z)1/2 z (m−1)/2 m − 1
          J− 21 , m−1 = −2                +      J− 12 , m−3 ,
                   2          m               m           2


èëè, âîçâðàùàÿñü ê çàäàííîìó èíòåãðàëó,
                      1 m−1 p             m−1
             Hm = − x          1 − x2 +         Hm−2 .
                     m                      m
                                   47

Страницы