Теоретическая механика. Кинематика. Калабин Н.Ф - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИВГПУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

11
Рис.2.8 Рис.2.9
Пример 2. Рейка 1, ступенчатое колесо 2 с радиусами R
2
и r
2
и колесо 3 радиуса R
3
, скрепленное
с валом радиуса r
3
, находятся в зацеплении; на вал намотана нить с грузом 4 на конце (рис. 2). Рейка
движется по закону S
1
= f(t).
Дано: R
2
=6 см, r
2
=4 см, R
3
=8 см, r
3
=3 см, S
1
= 3t
3
(S - в сантиметрах, t - в секундах), А - точка
обода колеса 3, t
1
=3 с. Определить: ω
3
, V4, ε
3
, a
A
в момент времени t = t
1
.
Решение. Условимся обозначать скорости точек, лежащих на внешних ободах колес (радиуса
R
1
), через V
1
, а точек, лежащих на внутренних ободах (радиуса г
1
), через U
1
.
1. Зная закон движения рейки 1, находим ее скорость:
V
1
=
S
1
=9t
2
. (1)
Рис. 2
Так как рейка и колесо 2 находятся в зацеплении, то V
2
=V
1
или ω
2
R
2
=V
1
. Но колеса 2 и 3 тоже
находятся в зацеплении, следовательно, U
2
=V
3
или ω
2
r
2
= ω
3
R
3
. Из этих равенств находим:
ω
2
=
2
2
1
t
2
3
R
V
= , ω
3
=
2
2
3
2
t
4
3
R
r
=ω
. (2)
Тогда для момента времени t
1
= 3 с получим ω
3
= 6,75 с
-1
.
2. Определяем V
4
. Так как V
4
= V
B
= ω
3
r
3
, то при t
1
=3c V
4
= 20,25 см/с.
3. Определяем ε
3
. Учитывая второе из равенств (2), получим ε
3
=ω
3
= 1,5t.
Тогда при t
1
= 3с ε
3
= 4,5 с
-2
.
4. Определяем
a
A
. Для точки А a =
τ
+
A
n
A
aa , где численно
τ
A
a =R
3
ε
3
,
n
A
a =R
3
ω
2
. Тогда для
момента времени t
1
= 3 с имеем
τ
A
a = 36 см/с
2
,
n
A
a = 364,5 см/с
2
a
A
=
2n
A
2
A
)a()a( +
τ
= 366,3 см/с
2
,
Все скорости и ускорения точек, а также направления угловых скоростей показаны на рис.2.
Ответ
:
1
3
c75,6
−
=ω
,
25,20V
4
=
см
/
с,
2
3
c5,4
−
=ε
,
2
A
c/cм3,366a = . 
                          Рис.2.8                                           Рис.2.9
       Пример 2. Рейка 1, ступенчатое колесо 2 с радиусами R2 и r2 и колесо 3 радиуса R3, скрепленное
с валом радиуса r3, находятся в зацеплении; на вал намотана нить с грузом 4 на конце (рис. 2). Рейка
движется по закону S1 = f(t).
       Дано: R2=6 см, r2=4 см, R3=8 см, r3=3 см, S1= 3t3 (S - в сантиметрах, t - в секундах), А - точка
обода колеса 3, t1=3 с. Определить: ω3, V4, ε3, aA в момент времени t = t1.
       Решение. Условимся обозначать скорости точек, лежащих на внешних ободах колес (радиуса
R1), через V1, а точек, лежащих на внутренних ободах (радиуса г1), через U1.
       1. Зная закон движения рейки 1, находим ее скорость:
                                                       V1= S 1=9t2 .                                 (1)




                                          Рис. 2
      Так как рейка и колесо 2 находятся в зацеплении, то V2=V1 или ω2R2 =V1. Но колеса 2 и 3 тоже
находятся в зацеплении, следовательно, U2=V3 или ω2r2 = ω3R3. Из этих равенств находим:
                                                 V   3        r       3
                                           ω2= 1 = t 2 , ω3= 2 ω2 = t 2 .                       (2)
                                                R2 2          R3      4

Тогда для момента времени t1 = 3 с получим ω3 = 6,75 с-1.
      2. Определяем V4. Так как V4 = VB= ω3r3, то при t1=3c V4= 20,25 см/с.
      3. Определяем ε3. Учитывая второе из равенств (2), получим ε3 =ω3 = 1,5t.
Тогда при t1 = 3с ε3= 4,5 с-2.
                                                      n     τ
     4. Определяем aA. Для точки А a = a A + a A , где численно a τA =R3 ε3, a nA =R3 ω 2 . Тогда для
момента времени t1 = 3 с имеем a τA = 36 см/с2, a nA = 364,5 см/с2
                                 aA = (a Aτ ) 2 + (a nA ) 2 = 366,3 см/с2,
      Все скорости и ускорения точек, а также направления угловых скоростей показаны на рис.2.

      Ответ : ω3 = 6,75c −1 , V4 = 20,25 см / с, ε 3 = 4,5c −2 , a A = 366,3cм / c 2 .




                                                            11

Страницы