ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
20
Сначала установим, где будет находиться точка М на дуге ADB в момент времени t
1
. Полагая в
уравнении (2) t
1
= 1 с, получим
R
6
5
S
1
π= . Тогда °=π==∠ 150
6
5
R
S
ACM
1
или °=∠ 30BCM .
Изображаем на рис. 4 точку в положении, определяемом этим углом (точка M
1
). Теперь находим
числовые значения V
r
,
n
r
a,
τ
r
a :
)t47(
6
R
SV
.
r
−
π
== ; R
3
2
Va
.
rr
π−==
τ
;
R
VV
a
2
r
r
2
r
n
r
=
ρ
= ,
где ρ
r
, - радиус кривизны относительной траектории, т.е. дуги ADB. Для момента времени
t
1
= 1 с, учитывая, что R = 0,5 м, получим
4
3
6
R
V
r
π
=⋅
π
=
м/c;
3
a
r
π
−=
τ
м/c
2
;
8
a
2
n
r
π
= м/c
2
. (3)
Знаки показывают, что вектор
r
V направлен в сторону положительного отсчета
расстояния s, а вектор
τ
r
a - в противоположную сторону; вектор
n
r
a направлен к центру С дуги ADB.
Изображаем все эти векторы на рис. 4.
2. Переносное движение. Это движение (вращение) происходит по закону
ϕ = 2t
3
- 4 t
2
. Найдем угловую скорость ω и угловое ускорение ε переносного вращения:
ω =
.
ϕ
= 6t
2
- 8t, ε =
.
ω
= 12t - 8 и при t
1
= 1 с ω = -2 с
-1
; ε = 4 с
-2
. (4)
Знаки указывают, что при t
1
=1с направление ε совпадает с направлением положительного
отсчета угла ϕ, а направление ω ему противоположно; отметим это на рис.4 соответствующими
дуговыми стрелками.
Для определения
e
V и
e
a находим сначала расстояние h точки M
1
от оси вращения. Получаем h
= R sin 3О° = 0,25 м. Тогда в момент времени t
1
= 1 с, учитывая равенства (4), получим:
V
e
= ω h = 0,5 м/с,
τ
e
a = εh = 1 м/с
2
,
ha
2n
e
ω=
= 1 м/с
2
. (5)
Изображаем на рис. 4 векторы
e
V и
τ
e
a с учетом направлений ω и ε и вектор
n
e
a (направлен к оси
вращения).
3.Кориолисово ускорение. Так как угол между вектором
e
V и осью вращения (вектором ω )
равен 60°, то численно в момент времени t
1
= 1 с [см. равенства (3)и(4)]
=°ω⋅= 60sinV2a
rc
=
π
2
3
2
4
2 2,72 м/с
2
. (6)
Направление
c
a найдем, спроецировав вектор
r
V на плоскость, перпендикулярную оси
вращения (проекция направлена так же, как и вектор
τ
e
a ), и повернув затем эту проекцию в сторону ω,
т.е. по ходу часовой стрелки, на 90°. Иначе направление
c
a
можно найти, учтя, что
c
a
=
(
r
V2 ×ω
).
Изображаем вектор
c
a на рис. 4.
Теперь можно вычислить значения V
M
и a
M
.
4. Определение V
м
. Так как
erM
VVV += , а векторы V и
e
V взаимно перпендикулярны (см.
рис. 4), то в момент времени t
1
= 1 с
V
M
= =+
2
e
2
r
VV
()
=+
π
2
2
5,0
4
0,93 м/с.
5. Определение a
M
. По теореме о сложении ускорений
=
M
a
c
n
ee
n
rr
aaaaa ++++
ττ
. (7)
Сначала установим, где будет находиться точка М на дуге ADB в момент времени t1. Полагая в
уравнении (2) t1 = 1 с, получим
5 S 5
S1 = πR . Тогда ∠ACM = 1 = π = 150° или ∠BCM = 30° .
6 R 6
Изображаем на рис. 4 точку в положении, определяемом этим углом (точка M1). Теперь находим
числовые значения Vr, a nr , a τr :
. πR . Vr2 Vr2
2
Vr = S = (7 − 4 t ) ; a τr = Vr = − πR ;= , a nr =
6 ρr
3 R
где ρr, - радиус кривизны относительной траектории, т.е. дуги ADB. Для момента времени
t1= 1 с, учитывая, что R = 0,5 м, получим
πR π π π2
Vr = ⋅ 3 = м/c; a τr = − м/c2; a nr = м/c2. (3)
6 4 3 8
Знаки показывают, что вектор V r направлен в сторону положительного отсчета
τ n
расстояния s, а вектор a r - в противоположную сторону; вектор a r направлен к центру С дуги ADB.
Изображаем все эти векторы на рис. 4.
2. Переносное движение. Это движение (вращение) происходит по закону
ϕ = 2t - 4 t2. Найдем угловую скорость ω и угловое ускорение ε переносного вращения:
3
. .
ω = ϕ = 6t2 - 8t, ε = ω = 12t - 8 и при t1 = 1 с ω = -2 с-1; ε = 4 с-2. (4)
Знаки указывают, что при t1=1с направление ε совпадает с направлением положительного
отсчета угла ϕ, а направление ω ему противоположно; отметим это на рис.4 соответствующими
дуговыми стрелками.
Для определения V e и a e находим сначала расстояние h точки M1 от оси вращения. Получаем h
= R sin 3О° = 0,25 м. Тогда в момент времени t1 = 1 с, учитывая равенства (4), получим:
a eτ = εh = 1 м/с ,
2
Ve = ω h = 0,5 м/с, a en = ω2 h = 1 м/с2 . (5)
τ n
Изображаем на рис. 4 векторы V e и a e с учетом направлений ω и ε и вектор a e (направлен к оси
вращения).
3.Кориолисово ускорение. Так как угол между вектором V e и осью вращения (вектором ω )
равен 60°, то численно в момент времени t1 = 1 с [см. равенства (3)и(4)]
π 3
a c = 2 Vr ⋅ ω sin 60° = 2 2 = 2,72 м/с2 . (6)
4 2
Направление a c найдем, спроецировав вектор V r на плоскость, перпендикулярную оси
τ
вращения (проекция направлена так же, как и вектор a e ), и повернув затем эту проекцию в сторону ω,
(
т.е. по ходу часовой стрелки, на 90°. Иначе направление a c можно найти, учтя, что a c = 2 ω × V r ).
Изображаем вектор a c на рис. 4.
Теперь можно вычислить значения VM и aM.
4. Определение Vм. Так как V M = V r + V e , а векторы V и V e взаимно перпендикулярны (см.
рис. 4), то в момент времени t1 = 1 с
2
π
+ (0,5) = 0,93 м/с.
2
VM= Vr2 + Ve2 =
4
5. Определение aM. По теореме о сложении ускорений
τ n τ n
a M = ar + ar + ae + ae + ac . (7)
20
