ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Пример 3. Конструкция состоит из невесомых стержней 1, 2, …, 6, соединенных друг с другом (в
узлах К и М) и с неподвижными опорами А, В, С, D шарнирами (рис. З). В узлах К и М приложены
силы P и
Q
, образующие с координатными осями углы α
1
, β
1
, γ
1
, и α
2
, β
2
, γ
2
соответственно (на
рисунке показаны только углы α
1
, β
1
, γ
1
).
Дано: Р = 100 Н, α
1
= 60°, β
1
= 60°, γ
1
= 45°; Q = 50 Н, α
2
= 45°,
β
2
= 60°, γ
2
= 60°, ψ = 30°, ϕ = 60°, δ = 74°. О п р е д е л и т ь :
усилия в стержнях 1-6.
Решение. 1. Рассмотрим равновесие узла К, в котором сходятся
стержни 1, 2, 3. На узел действуют сила
P
и реакции
N
1
,
N
2
,
N
3
стержней, которые направим по стержням от узла, считая стержни
растянутыми. Составим уравнения равновесия этой пространственной
системы сходящихся сил:
Рис. 3
∑F
kx
= 0, P cos α
1
+ N
2
sin ψ + N
3
sin ϕ = 0 ; (1)
∑F
ky
= 0, P cos β
1
+ N
1
–N
2
cos ψ = 0 ; (2)
∑F
kz
= 0, P cos γ
1
– N
3
cos ϕ = 0 . (3)
Решив уравнения (1), (2), (3) при заданных числовых значениях силы Р и углов, получим N
1
= 349
Н, N
2
= -345 Н, N
3
= 141 Н.
2. Рассмотрим равновесие узла M. На узел действуют сила
Q и реакции N ’
2
, N
4
, N
5
, N
6
стержней. При этом по закону о равенстве действия и противодействия реакция N '
2
направлена
противоположно N
2
, численно же N'
2
= N
2
. Составим уравнения равновесия:
∑F
kx
= 0, Q cos α
1
–N
2
sin ψ - N
4
– N
5
sin δ sin ψ = 0; (4)
∑F
ky
= 0, Q cos β
2
+N
2
cos ψ + N
5
sin δ cos ψ = 0; (5)
∑F
kz
= 0, Q cos γ
2
– N
5
cos δ - N
6
= 0. (6)
При определении проекций силы N
5
на оси X и Y в уравнениях (4) и (5) удобнее сначала найти
проекцию
N
'
5
этой силы на плоскость XOY (по числовой величине N'
5
= N
5
sin δ), а затем найденную
проекцию на плоскость спроектировать на оси X и Y.
Решив систему уравнений (4), (5), (6) и учитывая, что N’
2
= N
2
= - 345 Н, найдем, чему равны N
4
, N
5
,
N
6
.
Пример 3. Конструкция состоит из невесомых стержней 1, 2, …, 6, соединенных друг с другом (в
узлах К и М) и с неподвижными опорами А, В, С, D шарнирами (рис. З). В узлах К и М приложены
силы P и Q , образующие с координатными осями углы α1, β1, γ1, и α2, β2, γ2 соответственно (на
рисунке показаны только углы α1, β1, γ1).
Дано: Р = 100 Н, α1 = 60°, β 1 = 60°, γ1 = 45°; Q = 50 Н, α2 = 45°,
β2 = 60°, γ2 = 60°, ψ = 30°, ϕ = 60°, δ = 74°. О п р е д е л и т ь :
усилия в стержнях 1-6.
Решение. 1. Рассмотрим равновесие узла К, в котором сходятся
стержни 1, 2, 3. На узел действуют сила P и реакции N 1, N 2, N 3
стержней, которые направим по стержням от узла, считая стержни
растянутыми. Составим уравнения равновесия этой пространственной
системы сходящихся сил:
Рис. 3
∑Fkx = 0, P cos α1 + N2 sin ψ + N3 sin ϕ = 0 ; (1)
∑Fky = 0, P cos β1 + N1 –N2 cos ψ = 0 ; (2)
∑Fkz = 0, P cos γ1 – N3 cos ϕ = 0 . (3)
Решив уравнения (1), (2), (3) при заданных числовых значениях силы Р и углов, получим N1 = 349
Н, N2 = -345 Н, N3= 141 Н.
2. Рассмотрим равновесие узла M. На узел действуют сила Q и реакции N ’2, N 4, N 5, N 6
стержней. При этом по закону о равенстве действия и противодействия реакция N '2 направлена
противоположно N 2, численно же N'2 = N2 . Составим уравнения равновесия:
∑Fkx = 0, Q cos α1 –N2 sin ψ - N4 – N5 sin δ sin ψ = 0; (4)
∑Fky = 0, Q cos β2 +N2 cos ψ + N5 sin δ cos ψ = 0; (5)
∑Fkz = 0, Q cos γ2 – N5 cos δ - N6 = 0. (6)
При определении проекций силы N 5 на оси X и Y в уравнениях (4) и (5) удобнее сначала найти
проекцию N '5 этой силы на плоскость XOY (по числовой величине N'5 = N5 sin δ), а затем найденную
проекцию на плоскость спроектировать на оси X и Y.
Решив систему уравнений (4), (5), (6) и учитывая, что N’2 = N2 = - 345 Н, найдем, чему равны N4, N5,
N6.
