Составители:
(ρ
2
/
Р(ρ))∂
2
Р(ρ)/∂ρ
2
+ (Р(ρ)/ρ) (∂Р(ρ)/∂ρ) + æ
2
ρ
2
= - (1/Ф(ϕ)) (∂
2
Ф(ϕ)/∂ϕ
2
).
(6.71)
Левая и правая части этого уравнения зависят от разных переменных,
поэтому оно может быть справедливо только в том случае, когда обе его части
равны одной и той же постоянной величине. Пусть этой постоянной величиной
будет некоторый коэффициент m
2
, физический смысл которого мы определим
позднее. В этом случае уравнение (6.71) может быть представлено в виде
системы из двух однородных дифференциальных уравнений
∂
2
Ф(ϕ)/∂ϕ
2
+m
2
Ф(ϕ)=0. (6.72)
(ρ
2
/Р(ρ))∂
2
Р(ρ)/∂ρ
2
+(Р(ρ)/ρ)(∂Р(ρ)/∂ρ)+æ
2
ρ
2
-m
2
=0. (6.73)
Уравнение (6.72) является уже хорошо нам знакомым однородным
дифференциальным уравнением второго порядка, решением которого могут
быть показательные или тригонометрические функции (см. (6.19) и (6.20) ).
Помня о том, что мы ищем распределение поля в поперечном сечении
волновода, где это поле представляет собой стоячие волны, оставляем решение
в виде суммы тригонометрических функций
Ф(ϕ)=М
1
cos(mϕ)+М
2
sin(mϕ). (6.74)
Так как рассматриваемый волновод обладает круговой симметрией, то
начало отсчета угла ϕ может быть выбрано произвольно, и формулу для Ф(ϕ)
можно записать в следующем виде :
Ф(ϕ)=Мcos(mϕ). (6.75)
Коэффициент m , входящий в аргумент косинуса в выражении (6.75),
может быть только целым числом, так как значение функции Ф(ϕ) не должно
изменяться при изменении ϕ на величину, кратную 2π. Таким образом
m=0,1,2,… (6.76)
Величина амплитудного коэффициента М зависит от параметров
источника, возбуждающего собственные волны в волноводе.
Займемся решением уравнения (6.73). После несложных преобразований
оно может быть представлено в следующем виде:
∂
2
Р(ξ)/∂ξ
2
+(1/ξ)(∂Р(ξ)/∂ξ)+(1-m
2
/ξ
2
)Р(ξ)=0, (6.77)
где ξ = æ⋅ρ - независимая переменная.
Уравнение (6.77) представляет собой хорошо известное в
математической физике уравнение Бесселя, решением которого являются
специальные функции Бесселя первого и второго рода порядка m ( J
m
и N
m
соответственно):
P(ξ)=AJ
m
(ξ)+BN
m
(ξ), (6.78)
где m -порядок функции Бесселя.
75
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- …
- следующая ›
- последняя »
