Составители:
Рубрика:
60
/2
22 222
00
/2 /2
22
222
00
sin ,
cos .
sin cos
00
/2
/2 /2
1cos2 sin2
cos .
22 2 4
00
a
xa t
dx a t dt
axdx aa tatdt
xt
xa t
ta t a
atdta dtt
π
ππ
π
ππ
π
=
=
−== = − ⋅ =
=⇒=
=⇒=
⎛⎞
+
⎜⎟
== =+=
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
∫∫
Сформулируем еще один прием вычисления определенных интегралов,
аналогичный уже рассмотренному в главе 1 для неопределенных интегралов.
Теорема 4.
(Интегрирование по частям в определенном интеграле).
Пусть функции u(x) и v(x) − непрерывны и имеют непрерывные произ-
водные. Тогда
()
bb
aa
b
ud u du
a
=−
∫∫
vv v. (6)
Доказательство. Проинтегрируем обе части равенства
()
uuu
′
′
′
=
vv+v
по переменной
x в пределах от a до b:
()
bbb
aaa
udx udx udx
′
′′
=
∫∫∫
vv+v.
Интеграл в левой части может быть найден по формуле Ньютона−Лейбница, а
правая часть преобразована с учетом равенств
,du u dx d dx
′
′
=
v=v :
()
bb
aa
b
uduud
a
=
∫∫
vv+v.
Отсюда и получаем формулу (6).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- …
- следующая ›
- последняя »
