Составители:
Рубрика:
6
Теорема 2. Функция
(
)
f
x : I → либо вовсе не имеет первообразной,
либо имеет множество первообразных. Все это множество выражается в виде
()
Fx C+ , где
()
Fx какая-либо первообразная, а C − произвольная постоянная.
Доказательство. Пусть
(
)
Fx – какая-либо первообразная для
(
)
f
x ,
т.е.
() ()
Fx
f
x
′
= на интервале I. Тогда, взяв любое фиксированное число С,
мы видим, что
()
() () ()Fx C F x C
f
x
′
′′
+= += , т.е.
(
)
Fx C
+
тоже первообраз-
ная для
()
f
x . Итак, все функции вида
(
)
Fx C
+
− первообразные для
(
)
f
x .
Других функций в множестве первообразных нет. В самом деле, если
(
)
x
Φ
первообразная для
()
f
x , то функция
() () ()gx Fx x
=
−Φ
для любого значения
x обладает свойством () () () () () 0gx Fx x fx fx
′′′
=−Φ=−=. Теперь, применив
теорему Лагранжу для функции
g(x) на некотором отрезке [,]ax, получим
() () ()( )gx ga g x a
ξ
′
−= ⋅−
, (,)ax
ξ
∈ . Но () 0g
ξ
′
=
, поэтому () ()gx ga= для
любого
x, т.е.
()
() ()
g
xFx x=−Φ есть постоянная на I.
Определение. Совокупность всех первообразных функции
()
f
x на ин-
тервале
I называется неопределенным интегралом этой функции на этом ин-
тервале и обозначается символом
()
f
xdx
∫
. Учитывая теорему 2, можно напи-
сать
() ()
f
xdx F x C=+
∫
,
x
I
∈
, (2)
где
F(x) – какая-либо первообразная функции f(x).
Причина столь сложного и непонятного обозначения неопределенного
интеграла прояснится несколько позже.
Приведем несколько простейших примеров вычисления неопределенного
интеграла. Эти примеры получаются, если читать "справа налево" таблицу про-
изводных основных элементарных функций.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- …
- следующая ›
- последняя »
