Математика в нефтегазовом образовании: Теория и задачи. Выпуск 3. Часть 1. Неопределенные и определенные интегралы. Калинин В.В - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГУНиГ им. Губкина | Москва

Составители: 

Рубрика: 

8
Если вид первообразной заданной функции не очевиден, то для ее нахож-
дения можно воспользоваться свойствами неопределенного интеграла, с кото-
рыми мы начинаем знакомиться.
Теорема 3. 1) Пусть функция
(
)
f
x имеет первообразную на интервале
I, и
α
= const ≠ 0. Тогда
()
f
x
α
также имеет первообразную на I, причем
() ()
f
xdx f xdx
αα
=
∫∫
. (3)
2) Если функции
()
f
x и
()
g
x имеют первообразные на интервале I, то сумма
()
()
f
xgx+
также имеет на нем первообразную, причем
[]
() () () ()
f
xgxdx fxdx gxdx+=+
∫∫∫
. (4)
Доказательство. 1) Пусть
(
)
Fx− какая-либо первообразная для функ-
ции
()
f
x . Тогда
(
)
aF x есть первообразная для
(
)
a
x , поскольку
[]
()aF x
′
=
()
()aF x a
f
x
′
==. Поэтому левая часть (3) есть множество всех функций вида
()
1
aF x C+ , где
1
C произвольная постоянная, а правая часть – это множество
всех функций вида
[]
22
() ()aFx C aFx aC+= +
, где
2
C − произвольная посто-
янная. Ясно, что оба эти множества совпадают, и утверждение (3) доказано.
2) Пусть теперь
()
Fx и
(
)
Gx первообразные для функций
()
f
x и
(
)
gx,
соответственно. Тогда
()
()Fx Gx+ − первообразная для
(
)
()
f
xgx+ , т.к.
[]
()
() () () () ()Fx Gx F x G x
f
x
g
x
′
′′
+ =+=+
.
Таким образом, слева в (4) записано множество вида
(
)
1
()Fx Gx C
+
+
, а справа
– множество вида
()
(
)
(
)
23 4
() () ()Fx C Gx C F x Gx C++ += + +, где все значе-
ния
С с индексами – произвольные постоянные. Поэтому означенные множе-
ства совпадают, что и требовалось доказать.

Страницы