Математика в нефтегазовом образовании: Теория и задачи. Выпуск 3. Часть 1. Неопределенные и определенные интегралы. Калинин В.В - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГУНиГ им. Губкина | Москва

Составители: 

Рубрика: 

10
ПРИМЕР 11. Вычислить интеграл ln , ( 0)xdx x>
∫
.
Перепишем его в виде
1ln
x
dx⋅
∫
и положим ln ( )
x
ux
=
, 1()
x
′
= v . Тогда в
качестве
()
x
v
можно взять x. По формуле (5) имеем
1
ln ln ln
x
dx x x x dx x x x C
x
=−⋅=−+
∫∫
.
Можно представить наши рассуждения в этом примере следующим образом:
ln , ,
1
ln ln
1
,
uxddx
x
dx x x x dx
x
du dx x
x
==
=−⋅=
==
∫∫
v
v
()
ln ln 1 .
x
xxC x x C=−+= −+.
ПРИМЕР 12.
2
222
,,
22
2,
x
x
xx xx
x
ux d edx
x
edx xe xedx xe xedx
du xdx e
==
==−=−
==
∫∫∫
v
v
.
К последнему интегралу снова примéним интегрирование по частям:
,,
,
x
xxxxx
x
uxd edx
x
edx xe edxxeeC
du dx e
==
=
=− =−+
==
∫∫
v
v
.
В результате получаем:
()
(
)
22 2
1
222
xxxx x
x
edxxe xeeC x x eC
=
−−+=−++
∫
,
где
1
C
– произвольная постоянная.
Из двух последних примеров видно, что интегрирование по частям "в
сторону понижения степени" полезно, в частности, при интегрировании функ-
ций вида
mx
x
a , cos
m
x
x , sin
m
x
x при натуральных m. Конечно, только этим
сфера применения рассматриваемого метода не ограничивается.

Страницы