Математика в нефтегазовом образовании: Теория и задачи. Выпуск 3. Часть 1. Неопределенные и определенные интегралы. Калинин В.В - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГУНиГ им. Губкина | Москва

Составители: 

Рубрика: 

9
Теорема 3 позволяет несколько расширить класс функций, для которых
неопределенные интегралы могут быть найдены на основе таблицы производ-
ных основных элементарных функций:
ПРИМЕР 10.
5
2
12
4
sin
x
dx
x
x
⎛⎞
−+ =
⎜⎟
⎝⎠
∫
56
2
2
42 ln2ctg
3
sin
dx dx
x
dx x x x C
x
x
=−+ =−−+
∫∫∫
.
Теорема 4 (интегрирование по частям). Пусть функции
u(x) и v(x)
непрерывно дифференцируемы на интервале
I. Тогда на этом интервале имеет
место следующая формула интегрирования по частям:
() () ()() () ()ux xdx ux x xu xdx
′
′
=−
∫∫
vvv. (5)
Иногда эту формулу записывают в виде
() () ()() () ()uxd x ux x xdux=−
∫∫
vvv,
используя выражение дифференциала функции через ее производную.
Доказательство. Левая часть равенства (5) – это множество функций,
имеющих на интервале
I производную () ()ux x
′
v . Правая часть есть множество
функций, имеющих на интервале
I производную
[] [ ]
()() () () ()() () () () ()ux x xu x u x x ux x xu x
′
′
′′ ′
−= + −
vv v vv
,
т.е. такую же, что и функции в левой части. Значит, оба множества совпадают,
что и доказывает теорему.
Спрашивается, какой смысл заменять вычисление
() ()ux xdx
′
∫
v вычисле-
нием
() ()
x
uxdx
′
∫
v . Ответ прост: часто случается, что первый из интегралов мы
не умеем вычислять, а второй – умеем.

Страницы