Составители:
Рубрика:
105
Сформулируем теперь два важных следствия из формулы Грина (3).
Следствие 1. Если функции P(x,y) и Q(x,y) таковы, что ∂Q/∂x = ∂P/∂y,
и если
Г – непрерывная кусочно-гладкая замкнутая кривая, ограничивающая
односвязную область, то
() ()
,,0
P
x
y
dx Q x
y
d
y
Γ
+=ò . (4)
Следствие 2. Если функции P(x,y) и Q(x,y) удовлетворяют условию
∂
Q/∂x – ∂P/∂y ≡ 1, (5)
то площадь области
D может быть найдена по формуле:
() ()
()
,,
D
D
D
dxd
y
Px
y
dx Q x
y
d
y
Γ
== +
∫∫
ò
. (6)
В частности, условие (5) будет выполнено при
P(x,y) = – y/2, Q(x,y) =
=
x/2. Тогда из (6) получим выражение для площади области D через интеграл
по ее границе:
()
1
2
D
D
xdy ydx
Γ
=−ò
. (7)
ПРИМЕР 5. Найти площадь эллипса 1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
.
Запишем уравнение эллипса в параметрической форме:
π
20,sin,cos
≤
≤
⋅=⋅= ttbytax .
По формуле (7) получим
()
()
()
()
2
0
2
22
0
1
2
1
sin sin cos cos
2
cos sin 2 .
22
D
Dxdyydx
bta ta tb tdt
ab ab
t t dt ab
π
π
ππ
Γ
=⋅ − =
=−⋅⋅−+ ⋅ =
=+=⋅=
∫
∫
ò
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- …
- следующая ›
- последняя »
