Составители:
Рубрика:
103
()
()
()
2
22
243 3113
1 ( 1) / 2 2 ( 1) / 2
222
2
D
xx
xx
xy
dx x
y
d
y
xx
y
dxd
y
dx y dy dx y dy
Γ
−−
++
+++ =−− =
⎛⎞
⎜⎟
=− + =
⎜⎟
⎝⎠
∫∫∫
∫∫ ∫∫
() ( )
43 113
23
22
12
(1)/2 (1)/2
23 2
2
22
12 1
2
22
12
4 3 11 3 3 18 .
23
xx
xx
yy
dx dx
x
x dx x dx dx
−−
++
⎛⎞
⎜⎟
=− ⋅ + ⋅ =
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
+
⎛⎞
=− − − − + =−
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
∫∫ ∫
ПРИМЕР 3. Решить с помощью формулы Грина пример 1 из п. 6.3.
В этом примере
P(x,y) = x
2
, Q(x,y) = xy. Тогда ∂Q/∂x = y, ∂P/∂y = 0. Под-
ставляя эти значения в формулу (3), получаем
()
,
15
1
222
0
1
0
1
0
1
0
422
2
2
2
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−=⋅−=−=
=−−=+
∫∫ ∫ ∫
∫∫∫
Γ
dx
xxy
dxdyydx
dxdyydyxydxx
x
x
x
x
D
где
D – область, ограниченная кривой Г (см. рис. 9).
ПРИМЕР 4. Вычислить двумя способами криволинейный интеграл:
(
)
dyxyx
∫
Γ
+ 2
2
, если Г – контур, состоящий из левой половины эллипса
()
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤=+=Γ 0,1:,
2
2
2
2
1
x
b
y
a
x
yx
и отрезка Г
2
={(0, y), – b ≤ y
≤ b}, причем
контур проходится в положительном направлении (рис. 20).
Введем параметризацию на кривой
Г
1
: cos , sin
x
at
y
bt
=
⋅=⋅,
3
22
t
π
π
≤≤ .
На контуре
Г
2
переменная x
= 0, в качестве параметра выберем переменную y.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- …
- следующая ›
- последняя »
