Составители:
Рубрика:
107
Напомним, что полным дифференциалом функции
(
)
,,Uxyz трех переменных
называется выражение
UUU
dU dx d
y
dz
xy
z
∂∂∂
=++
∂∂∂
. (3)
Сформулируем без доказательства теорему, устанавливающую, в каком случае
дифференциальное выражение (2) представляет собой полный дифференциал
некоторой функции
U, т.е. правая часть выражения (3) совпадает с (2):
Теорема 1 (Признак полного дифференциала).
1. (Случай трех переменных).
Пусть в области V трехмерного про-
странства существуют и непрерывны производные ∂
P/∂y, ∂P/∂z, ∂Q/∂x, ∂Q/∂z,
∂
R/∂x, ∂R/∂y.
Для того чтобы выражение (2) было полным дифференциалом от некото-
рой функции трех переменных необходимо и достаточно, чтобы выполнялись
равенства:
,,.
P
QRPRQ
y
xxz
y
z
∂∂ ∂∂ ∂∂
===
∂∂ ∂∂ ∂∂
(4)
2. (Случай двух переменных). Пусть дифференциальное выражение
(2) имеет вид:
() ()
,,
P
xydx Qxydy+ , (5)
и
V – область на плоскости.
Для того чтобы выражение (5) было полным дифференциалом от некото-
рой функции двух переменных, необходимо и достаточно, чтобы частные про-
изводные ∂
Q/∂x и ∂P/∂y существовали, были непрерывными и совпадали на об-
ласти
V:
.
P
Q
y
x
∂∂
=
∂∂
(6)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- …
- следующая ›
- последняя »
