Составители:
Рубрика:
108
Замечание. Достаточность условий (4) и (6) справедлива, вообще гово-
ря, не для произвольных областей
V. В плоском случае, требуется, чтобы об-
ласть
V была односвязной (т.е. не содержала «дырок»). В трехмерном случае
условия более сложные.
Теперь можно вернуться к вопросу о независимости криволинейного ин-
теграла (1) от пути интегрирования.
Имеет место следующая теорема:
Теорема 2. Для того чтобы криволинейный интеграл (1) не зависел от
пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы дифференциальное вы-
ражение
() ()
(
)
dzzyxRdyzyxQdxzyxP ,,,,,,
+
+
представляло в рассматриваемой области полный дифференциал от некоторой
функции трех переменных, т.е. имело вид
UUU
dU dx d
y
dz
xy
z
∂∂∂
=++
∂∂∂
.
Определение 1. Функция U из теоремы 2 называется потенциальной
функцией
, или потенциалом вектора
() ()
(
)
kzyxRjzyxQizyxPF
⋅+⋅+⋅= ,,,,,,
в области
V.
В этом случае используется обозначение:
Fg
rad U= .
Отметим, что, если потенциальная функция
U существует, то интеграл (1) на-
ходится по формуле
(
)
(
)
(
)
,, ,, ,,
() () (),
B
A
P xyz dx Q xyzdy R xyz dz
UM UB UA
Γ
++=
==−
∫
(7)
где
A и B – начальная и конечная точки кривой Γ.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- …
- следующая ›
- последняя »
