Составители:
Рубрика:
109
Замечание. Сформулированная теорема 2 справедлива и для случая
функций двух переменных, когда
z = 0, R(x,y,z) = 0.
Теорему 2 можно сформулировать в эквивалентной форме:
Теорема 3. Если выражение (2) является в области V полным дифферен-
циалом, то интеграл (1) по любой замкнутой кривой
Γ, целиком лежащей в об-
ласти
V, равен нулю. Обратно, если интеграл (1) вдоль любой замкнутой кри-
вой
Γ, лежащей в области V, равен нулю, то выражение (2) представляет собой
полный дифференциал некоторой функции трех переменных.
Докажем вначале эквивалентность утверждений теорем 2 и 3, а именно,
что интеграл (1) не зависит от пути интегрирования тогда и только тогда, если
он равен нулю для любой замкнутой кривой
Г.
Действительно, пусть интеграл (1) равен нулю вдоль любой замкнутой
кривой
Γ. Если Г
1
и Г
2
– две произвольные кривые, соединяющие точки А и
В, то кривая Г, являющаяся объединением кривых Г
1
и Г
2
(кривая Г
2
прохо-
дится в противоположном направлении) замкнута (рис.21).
Рис.21.К доказательству теоремы 3.
По условию интеграл по любой замкнутой кривой равен нулю. Тогда
(
)
(
)
(
)
0,, ,, ,,
P
x
y
zdx Qx
y
zd
y
Rx
y
zdz
Γ
=++=
∫
2
−
Γ
A
B
Γ
Γ
2
Γ
1
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- …
- следующая ›
- последняя »
