Составители:
Рубрика:
111
разность
y
P
x
Q
F
∂
∂
−
∂
∂
= отлична от нуля. Допустим, что в точке М выражение
0>F . В силу непрерывности частных производных это неравенство будет
справедливо и в некоторой окрестности
G точки М. Возьмем границу этой ок-
рестности в качестве замкнутой кривой
Г. По формуле Грина получаем
() ()
0,, >=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=+
∫∫∫∫∫
Γ
dxdyFdxdy
y
P
x
Q
dyyxQdxyxP
DD
,
что противоречит сделанному предположению. Полученное противоречие за-
вершает доказательство теорем 2 и 3.
ПРИМЕР 1. Вычислить интеграл
(
)
()
22
Ix
y
xdx
y
d
y
Γ
=+⋅+
∫
, где Г – кри-
вая
3
3
arctg 8 2yx
⎛⎞
=+−
⎜⎟
⎝⎠
от точки А(0,0) до точки
(
)
3
19, 4B
π
.
Преобразуем сначала подынтегральное выражение:
()
()
()
(
)
(
)
()
2
22 22 2 2 22
2
22
11
24
1
.
4
x y xdx ydy x y dx dy d x y
dxy
++=+⋅+=+=
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠
Следовательно, функция
(
)
2
22
1
4
Ux
y
=+ является потенциалом вектор-
функции
()
(
)
(
)
jyxyiyxxyxF
⋅+⋅+⋅+⋅=
2222
, , и по формуле (7) интеграл
равен
()
()
()
2
2
3
22 2
1
,()()19
416
I F dr x y xdx ydy U B U A
π
ΓΓ
⎛⎞
==+⋅+=−=⋅+
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
.
ПРИМЕР 2. Найти интеграл:
33 2 42
(4 3 5) (3 6 4) ,Ix
yy
dx x
y
x
y
d
y
Γ
=−++−−
∫
где
Г – часть графика функции xy arcsin
=
от точки А(0,0) до точки В(1, π/2).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- …
- следующая ›
- последняя »
