Составители:
Рубрика:
112
Функции P(x,y,z) = 4x
3
y
3
– 3y
2
+ 5 и Q(x,y,z) = 3x
4
y
2
– 6xy – 4 имеют не-
прерывные производные: ∂
P/∂y = 12x
3
y
2
– 6y и ∂Q/∂x = 12x
3
y
2
– 6y, т.е. ∂Q/∂x =
∂P/∂y. Следовательно, по теореме 2 подынтегральная функция есть полный
дифференциал некоторой функции
U. По формуле (7) интеграл I в этом случае
равен разности значений
U(B) – U(A) потенциала в точках А и В.
Найдем потенциал
U двумя способами.
Способ 1. Зная дифференциал функции U: dU = Pdx + Qdy
= (4x
3
y
3
–
– 3
y
2
+ 5) dx + (3x
4
y
2
– 6xy – 4) dy, первообразную U (x,y) можно найти, интег-
рируя функцию
dU по любой кривой от произвольной точки М
о
до точки
М(x,y). Выберем путь состоящий из отрезков, параллельных осям Ox и Oy. По-
скольку функции
P и Q определены при x = y = 0, в качестве точки М
o
в данном
случае удобно взять начало координат (рис. 22 и 23). (Произвольность выбора
точки
М
о
объясняется тем, что по своему дифференциалу функция U(x,y) мо-
жет быть найдена только с точностью до произвольной постоянной).
Рис.22. К примеру 2. Рис. 23. К примеру 2.
Будем искать интеграл с помощью кривой, изображенной на рис.22:
()
()
()
∫∫∫
++++=++=
EMEM
yx
QdPdQdPdCQdPdCyxU
ηξηξηξ
o
,
0,0
, .
M(x,y)
O = M
o
E(x,0)
O = M
o
G(0,y)
M(x,y)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- …
- следующая ›
- последняя »
