Составители:
Рубрика:
114
Тогда, повторяя с небольшими изменениями выкладки, проведенные вы-
ше, получаем:
()()
()()
()
33 2 42
33 2 42
2
435364
435364
5364
AB AE EB
AE
EM
AE EB
I Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy
xy y
dx x
y
x
y
d
y
xy y
dx x
y
x
y
d
y
dx y y dy
=+=+++=
=−++−−+
+−++−−=
=+ −−=
∫∫∫
∫
∫
∫∫
(10)
32
32
22
1
2
00
00
53 6 4 5 3 2
32 22
yy
Cx y
π
π
π
ππ
π
⎛⎞ ⎛⎞
=+ + − − =+ − −
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
.
Способ 2. Поскольку ∂U(x,y)/∂x = P(x,y), для нахождения функции
U(x,y) проинтегрируем это равенство:
() ()
(
)
33 2
43 2
,,435
35().
Uxy Pxydx xy y dx
xy
x
y
xC
y
==−+=
=−++
∫∫
(11)
(При интегрировании по переменной
x переменная y представляет собой неко-
торый параметр, поэтому постоянная интегрирования
C может зависеть от y).
Итак, функция
U(x,y) найдена с точностью до функции C(y). Для нахож-
дения
C(y), воспользуемся другой известной нам частной производной функ-
ции
U(x,y): ∂U(x,y)/∂y = Q(x,y). Подставим в эту формулу известное значение
Q(x,y) = 3x
4
y
2
– 6xy – 4 и значение функции U(x,y) из формулы (11):
()
42 42
36 364xy xy C y xy xy
′
−+ = −−.
Отсюда
() 4C
y
′
=− и, значит,
o
() (4) 4C
y
d
yy
C=− =−+
∫
, где С
о
– посто-
янная, не зависящая ни от каких параметров.
Полученный результат, как и следовало ожидать, совпадает с (9):
U(x,y) = x
4
y
3
– 3xy
2
+ 5x – 4y + С
о
. (12)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- …
- следующая ›
- последняя »
