Составители:
Рубрика:
110
() ()
(
)
() () ()
() () ()
() () ()
1
2
1
2
,, ,, ,,
,, ,, ,,
,, ,, ,,
,, ,, ,, .
Pxyzdx Qxyzdy Rxyzdz
P x y z dx Q x y z dy R x y z dz
P xyzdx Q xyz dy R xyz dz
P
x
y
zdx Qx
y
zd
y
Rx
y
zdz
−
Γ
Γ
Γ
Γ
=+++
+++=
=++−
−++
∫
∫
∫
∫
Отсюда
(
)
(
)
(
)
() () ()
1
2
,, ,, ,,
,, ,, ,, ,
P xyzdx Q xyz dy R xyz dz
P
x
y
zdx Qx
y
zd
y
Rx
y
zdz
Γ
Γ
++=
=++
∫
∫
(8)
т.е. интеграл (1) не зависит от пути интегрирования.
Аналогично доказывается и обратное утверждение.
Теперь перейдем к доказательству теоремы 3, ограничившись случаем
двух переменных.
Пусть выражение (5) есть полный дифференциал. Это означает, что спра-
ведлива формула (6). Для произвольного замкнутого контура
Г, ограничиваю-
щего область
D, по формуле Грина имеем
() ()
,, 0
D
QP
P x y dx Q x y dy dxdy
xy
Γ
⎛⎞
∂∂
+=−=
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
∫∫∫
,
что и требовалось доказать.
Обратное утверждение теоремы докажем от противного. Пусть интеграл
(1) (с
()
,, 0Rxyz= и функциями P и Q, не зависящими от переменной z) по
любому замкнутому контуру равен нулю. Предположим, что выражение (5),
стоящее под интегралом (1), не является полным дифференциалом. По теореме
1 это означает, что хотя бы в одной точке М равенство (5) не выполнено, т.е.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- …
- следующая ›
- последняя »
