Составители:
Рубрика:
166
ПРИМЕР 2. Вычислить циркуляцию вектор-функции
()()
32Fxzix
y
z
j
x
y
zk=+⋅+−⋅−⋅
вдоль линии
γ пересечения параболоида
22
(, ) 1 0zgxy x y
=
=− − = (рис. 25) с
координатными плоскостями
()
0, 0, 0xyz≥≥≥.
Воспользуемся формулой Стокса. В качестве поверхности
Ω с границей γ
примем часть параболоида, лежащую в первом октанте, т.е. при
0, 0, 0
xy
z≥≥≥. Таким образом, γ = Г(Ω). Положительным направлением об-
хода контура будем считать движение против часовой стрелки, если смотреть
со стороны внешней нормали к параболоиду:
((,))ngradzgxy
=
−=
22
x
i
yj
k=++
.
На поверхности
Ω имеем
()()
22
22
22
1122
14 4 .
xy
d g g dxdy x y dxdy
xy
dxd
y
′′
Ω= + + = + − + − =
=+ + ⋅
Найдем теперь ротор вектора
(
)
(
)
32Fxzix
y
z
j
x
y
zk
=
+⋅+−⋅−⋅
:
()( )
///1 2 .
32
ijk
rot F x y z xz i yz j y k
xzxyz xyz
=∂∂ ∂∂ ∂∂= − ⋅+ + ⋅+⋅
+−−
Проекция поверхности
Ω на плоскость OXY представляет собой четверть
круга
D:
22
1, 0, 0.xy x y+= ≥ ≥
На поверхности
Ω в цилиндрических координатах (r, φ, z) выполнено ра-
венство
22 2
1( )1zx
y
r=− + =− . Тогда по формуле Стокса (8) получим
()
()( )
()
22
21 2 2 14 4
D
Fdr rotFnd
x
xz
yy
z
y
x
y
dxd
y
γ
+
Ω
⋅= ⋅ Ω=
=−+++⋅++ =
∫∫
∫∫
ò
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 220
- 221
- 222
- 223
- 224
- …
- следующая ›
- последняя »
