Составители:
Рубрика:
164
Складывая соотношения (3) – (5) получаем формулу Стокса:
()
() () ()
,, ,, ,,
.
P xyz dx Q xyzdy R xyzdz
QP RQ PR
dxdy dydz dxdz
xy yz zx
+
+
ΓΩ
Ω
++=
⎛⎞⎛⎞
∂∂ ∂∂ ∂∂
⎛⎞
= − +− +−
⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
∂∂ ∂∂ ∂∂
⎝⎠
⎝⎠⎝⎠
∫∫
ò
(6)
Формулу Стокса можно записать и через поверхностный интеграл I-го рода:
()
() () ()
,, ,, ,,
cos cos cos .
P xyz dx Q xyzdy R xyzdz
QP RQ PR
d
xy yz zx
γαβ
+
ΓΩ
Ω
++=
⎛⎞
⎛⎞⎛⎞
∂∂ ∂∂ ∂∂
⎛⎞
=−⋅+−⋅+−⋅Ω
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
∂∂ ∂∂ ∂∂
⎝⎠
⎝⎠⎝⎠
⎝⎠
∫∫
ò
(7)
Замечание 1. Вектор ,,
RQPRQP
rot F
yzzxxy
⎛⎞
∂
∂∂∂∂∂
=−−−
⎜⎟
∂
∂∂∂∂∂
⎝⎠
называет-
ся
ротором, или вихрем векторной функции (, ,)Fx
y
z
=
()
(, ,), (, ,), (, ,)
P
xyz Qxyz Rxyz= . Компоненты ротора удобно выразить с по-
мощью определителя:
i
j
k
rot F
xy
z
P
QR
∂∂∂
=
∂∂∂
.
С использованием понятия ротора формула Стокса записывается короче:
()
()
,Fdr rotFnd
+
ΓΩ
Ω
⋅= ⋅ Ω
∫∫
ò
(8)
и выражает циркуляцию вектора через поверхностный интеграл от его ротора.
ПРИМЕР 1. Вычислить циркуляцию вектора F
y
ix
j
zk
=
−+
вдоль ли-
нии
γ пересечения сферы
222 2
xy
zR++= и конуса
222
xy
z
+
= , z > 0.
Для точек, лежащих на кривой
γ, справедливы равенства:
222 22
.
xy
zRz+==−
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 218
- 219
- 220
- 221
- 222
- …
- следующая ›
- последняя »
