Составители:
Рубрика:
162
Выберем определенную сторону поверхности Ω, например, сторону Ω
+
,
на которой положительное направление обхода границы
Г(Ω) поверхности Ω
отвечает на плоскости переменных
(u, v) положительному обходу границы Г(∆)
области ∆ (т.е. при движении точки по границе поверхности Ω в положитель-
ном направлении, ее проекция на границу области
∆ движется против часовой
стрелки). Границы областей с выбранными на них положительными направле-
ниями обхода будем обозначать через
Г(Ω)
+
и Г(∆)
+
.
Пусть на поверхности
Ω (вместе с некоторой ее окрестностью) функция
P(x,y,z) определена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные.
Рассмотрим криволинейный интеграл II-го рода от этой функции по кривой
Г(Ω)
+
. Используя соотношения (3) п.7.2. и формулу для дифференциала слож-
ной функции, получим:
()
()()()
()
() ()
()
()
,,
,,
,, ,, , .
Pxyzdx
uu
P
uuu du d
u
ϕϕ
ϕψ χ
+
+
ΓΩ
ΓΔ
=
⎛⎞
∂∂
=⋅+
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
ò
ò
vv
vvv v
v
(1)
Кривая
Г(∆)
+
и ограниченная ею область ∆ лежат в плоскости (u, v), по-
этому к интегралам (1) можно применить формулу Грина:
()
()
(
)
22
,,
[]
uu
PduPd
u
P P dud
uu
PP
P
PdudI
uuuu
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕϕϕ
+
ΓΔ
Δ
Δ
∂∂
⋅+⋅ =
∂∂
⎧⎫
∂∂ ∂∂
⎛⎞⎛⎞
=⋅−⋅ =
⎨⎬
⎜⎟⎜⎟
∂∂∂∂
⎝⎠⎝⎠
⎩⎭
⎧⎫
∂∂ ∂ ∂∂ ∂
⎪⎪
=⋅+⋅−⋅−⋅ =
⎨⎬
∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂
⎪⎪
⎩⎭
∫∫
∫∫
ò
vv
v
v
v
vv
v
vvv v
(2)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 216
- 217
- 218
- 219
- 220
- …
- следующая ›
- последняя »
